Czy układ jest liniowo niezależny

[kalwi]

Czy układ \(\displaystyle{ \alpha}\) jest liniowo niezależny? Czy jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) nad \(\displaystyle{ K}\)?

\(\displaystyle{ V=\RR^3 \ \ K=\CC \ \ \alpha =\left( \left( 2,1,1\right),\left( 3,0,1\right),\left( 0,3,1\right) \right)}\)

i niech ktoś mi powie, czy dobrze to robię: mam wziąć liczby \(\displaystyle{ a,b,c \neq 0}\), takie, aby

\(\displaystyle{ a \cdot \left( 2,1,1\right)+b \cdot \left( 3,0,1\right)+c \cdot \left(0,3,1 \right)=(0,0,0)}\)

czyli

\(\displaystyle{ 2a+3b=0 \Rightarrow b= \frac{-2}{3}a \\ a+3c=0 \Rightarrow c= \frac{-a}{3} \\ a+b+c=0 \iff a- \frac{2}{3}a- \frac{a}{3}=0 \Rightarrow 0=0}\)

no i jak rozumiem, trzeba to zinterpretować w taki sposób, że układ jest liniowo niezależny. Jeśli dałoby się wyliczyć chociaż jeden współczynnik, to układ byłby już liniowo zależny, prawda? I teraz druga sprawa, czyli baza przestrzeni - kompletnie nie wiem co to jest, ani jak to się wylicza

[Mistrz]

Źle
Doszedłeś do tego, że ta kombinacja jest równa zero, gdy współczynniki to \(\displaystyle{ a, -\frac{2a}{3}, -\frac{a}{3}}\), a więc współczynniki nie muszą być równe zero. Stąd należy wyciągnąć wniosek, że ten układ jest liniowo zależny. Tylko w przypadku gdyby wyszło że ta kombinacja jest równa zero wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie współczynniki są zerami mamy układ liniowo niezależny.

[kalwi]

mhm rozumiem. Czyli, jeśli by wyszło na przykład \(\displaystyle{ \frac{a}{3}=0}\) i analogicznie dla \(\displaystyle{ b,c}\) to wtedy byłby liniowo niezależny. A jeśli na przykład \(\displaystyle{ a}\) by musiało być równe \(\displaystyle{ 0}\), a \(\displaystyle{ b,c}\) już nie? wtedy by był liniowo zależny?
i jak poradzić sobie z bazą?