Mam takie zadanie:
Niech P bedzie pierscieniem. Rozpatrzmy zbiór \(\displaystyle{ M_{m\times n}(P)}\)
wszystkich m × n macierzy o współczynnikach z pierscienia P. Udowodnic,
ze zbiór ten jest P-modułem wzgledem zwykłego dodawania
macierzy i operacji mnozenia ich przez skalary.
Nie wiem czy dobrze myślę nad rozwiązaniem proszę o pomoc i wskazówki:
Niech \(\displaystyle{ P:M_{m\times n}(P)}\) będzie pierścieniem macierzy wymiaru \(\displaystyle{ m\times n}\) o elementach z pierścienia P.
\(\displaystyle{ P=\left\lbrace\left[ \begin{array}{cccc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \cdots & \alpha_{1n} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & \cdots & \alpha_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\alpha_{m1} & \alpha_{m2} & \cdots & \alpha_{mn}
\end{array} \right]: \alpha_{ij}\in P\right\rbrace}\).
Weźmy dwie dowolne macierze:
\(\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{array} \right] \qquad\text{i}\qquad
B=\left[ \begin{array}{cccc}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn}
\end{array} \right]}\)
Pierwszy aksjomat definicji modułu jest spełniony, gdyz dodawanie macierzy jest działaniem przemiennym. Zatem zbiór \(\displaystyle{ M_{m\times n}(P)}\) stanowi grupę względem zwykłego dodawania macierzy.
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{array} \right] +
\left[ \begin{array}{cccc}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn}
\end{array} \right] =
\left[ \begin{array}{cccc}
a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots &a_{mn}+ b_{mn}
\end{array} \right]}\)
Drugi aksjomat definicji modułu jest również spełniony, gdyż:
\(\displaystyle{ \forall_{\lambda\in P}\qquad\forall_{\alpha_{ij},\beta_{ij}\in M_{m\times n}, i,j\in Z} \qquad\lambda(\alpha_{ij}+\beta_{ij}) = \lambda\alpha_{ij} + \lambda\beta_{ij}}\).
Oznacza to, że zbiór \(\displaystyle{ M_{m\times n}(P)}\) jest P-modułem względem zwykłego dodawania macierzy i mnożenia ich przez skalary.