Iloczyn skalarny - różne działania

[marek252]

Witam.
Moje pytanie dotyczy dwóch sposobów liczenia iloczynu skalarnego, a właściwie kiedy którego używać. Z definicji wygląda to tak:
\(\displaystyle{ \vec{a} * \vec{b} = |\vec{a} | \cdot |\vec{b} | \cdot \cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ \alpha}\) - kąt między wektorami a i b.
Sytuacja I.
Mamy obliczyć iloczyn skalarny wektorów \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}}\), jeżeli \(\displaystyle{ \vec{a}=6\vec{p}-4\vec{q}}\), \(\displaystyle{ \vec{b}=2\vec{p}-10\vec{q}}\) przy czym \(\displaystyle{ \vec{p}}\) i \(\displaystyle{ \vec{q}}\) są wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadłymi. Robimy wtedy tak:
\(\displaystyle{ \vec{a} * \vec{b}=6\vec{p}-4\vec{q} * 2\vec{p}-10=12p*p-60p*q-8q*p+40q*q=12+40=52}\)
Wymnożyliśmy tutaj wszystko przez wszystko.
Sytuacja II.
Obliczyć kąt między wektorami \(\displaystyle{ \vec{a}=(-1,0,2,2)}\), \(\displaystyle{ \vec{b}=(0,-2,1,-2)}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{4}}\)
Tutaj iloczyn skalarny liczymy jako:
\(\displaystyle{ \vec{a} * \vec{b}=-1 \cdot 0+0 \cdot (-2)+2 \cdot 1+ 2\cdot(-2)=-2}\)
Czemu tutaj nie mnożyliśmy wszystkiego przez wszystko, tylko każdy wyraz z odpowiadającym mu wyrazem?
Kiedy robimy tak jak w sytuacji I a kiedy jak w II? Mógłby mi to ktoś dokładnie wytłumaczyć?
Pozdrawiam

[szw1710]

Przypadek b) sprowadzamy do a) przez przyjęcie \(\displaystyle{ e_1=(1,0,0,0)}\) , \(\displaystyle{ e_2=(0,1,0,0), e_2=(0,0,1,0)}\) i \(\displaystyle{ e_4=(0,0,0,1)}\). Wtedy \(\displaystyle{ (x,y,z,t)=xe_1+ye_2+ze_3+te_4}\) i ślicznie Ci wychodzi sposób mnożenia skalarnego. Weź sobie drugi wektor \(\displaystyle{ (a,b,c,d)}\) i wymnóż je przez siebie jak w a). Dobrej nocy.

[marek252]

Rozumiem, że obie metody są poprawne, ale nie bardzo rozumiem to co napisałeś. Może inaczej. Kiedy robić w ten pierwszy sposób a kiedy w ten drugi? Tak ogólnie.
Pytanie na jutro, żeby już dzisiaj nie męczyć, bo późno jest. Dobranoc.