Znajdź bazy i wymiary poniższych podprzestrzeni wektorowych

[VeemSiS]

Witam, chciałbym prosić o pomoc w poniższych 2 przykładach.
\(\displaystyle{ W = \{(x,y,z,t) = (a-b+c,a+b-c,2a,-c),a,b,c \in R\}}\)

\(\displaystyle{ W = \{(x,y,z) \in R ^{3} : x-z=z-y=x-y\}}\)

[lukequaint]

Zastanówmy się jak wyglądają te podprzestrzenie.
1) Rozłóżmy dowolny wektor z \(\displaystyle{ W}\) na składowe:
\(\displaystyle{ \left( \begin{array}{c}
a-b+c\\
a+b-c\\
2a\\
-c
\end{array} \right) =
a
\left( \begin{array}{c}
1\\
1\\
2\\
0
\end{array} \right) +
b
\left( \begin{array}{c}
-1\\
1\\
0\\
0
\end{array} \right) +
c
\left( \begin{array}{c}
1\\
-1\\
0\\
-1
\end{array} \right)}\)

Otrzymaliśmy zbiór wektorów rozpinających \(\displaystyle{ W}\). By otrzymać bazę, musimy się jeszcze zastanowić, czy ten zbiór jest minimalny - czy otrzymane wektory są liniowo niezależne. W tym przypadku są, zatem znaleźliśmy bazę, a wymiar tej podprzestrzeni jest równy \(\displaystyle{ 3}\).

2) Zauważ, że z równań wyznaczających podprzestrzeń \(\displaystyle{ W}\) wynika, że \(\displaystyle{ x=y=z}\), zatem wektory w tej podprzestrzeni będą postaci:
\(\displaystyle{ \left( \begin{array}{c}
x\\
x\\
x
\end{array} \right)
=
x
\left( \begin{array}{c}
1\\
1\\
1
\end{array} \right)}\)
Mamy więc bazę \(\displaystyle{ W}\), a wymiar tej podprzestrzeni to \(\displaystyle{ 1}\) (\(\displaystyle{ W}\) jest prostą).

[VeemSiS]

Dziękuję bardzo za pomoc , wszystko jest już zrozumiałe