Wykaż, macierze

[Aluk]

Proszę o rozwiązanie zadania
Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ A\in \mathcal{M}_{n\times n}}\), jest macierzą trójkątną, to \(\displaystyle{ det A=\prod_{i=1}^na_{ii}}\)

[szw1710]

Rozwinięcie Laplace'a wg ostatniej kolumny w połączeniu z indukcją.

[yorgin]

Albo: Skoro \(\displaystyle{ \det A=\sum\limits_{\sigma \in S_n}\left(\sgn \sigma \prod\limits_{k=1}^n a_{\sigma(k),k}\right)}\), to wystarczy zauważyć, że skoro macierz jest trójkątna, to jeżeli tylko dla pewnego \(\displaystyle{ i}\) mamy \(\displaystyle{ \sigma(i)\neq i}\), to istnieje \(\displaystyle{ \ell}\) takie, że \(\displaystyle{ a_{\sigma(\ell),\ell}=0}\) (tzn \(\displaystyle{ \sigma(\ell)>\ell \vee \ell>\sigma(\ell)}\), więc z "trójkątności" musi być zero).