Kryterium Hurwitza - sprawdzenie poprawności przykładu

[filip.wroc]

Mam problem z określeniem jak się buduje wyznacznik Hurwitza. Wszystkie źródła na jakie trafiłem pokazują wykropkowaną postać, a nie znalazłem niczego rzeczywistego.

Weźmy notację stąd: ... i_Hurwitza
i użyjmy równania wielomianowego
\(\displaystyle{ 1x^5 + 2 x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 5x^1 + 6 = 0}\)

Spróbujmy teraz zapisać minory (bez liczenia, chcę zrozumieć konstrukcję:

\(\displaystyle{ \Delta_1 = \left|\begin{array}{ccc}
5
\end{array}\right|}\)

\(\displaystyle{ \Delta_2 = \left|\begin{array}{ccc}
5 & 6\\
3 & 4
\end{array}\right|}\)

\(\displaystyle{ \Delta_3 = \left|\begin{array}{ccc}
5 & 6 & 0\\
3 & 4 & 5\\
1 & 2 & 3
\end{array}\right|}\)

\(\displaystyle{ \Delta_4 = \left|\begin{array}{cccc}
5 & 6 & 0 & 0\\
3 & 4 & 5 & 6 \\
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array}\right|}\)
Już tutaj nie jestem pewien, czy dobrze określiłem ostatni wiersz.
Poniższych tym bardziej nie jestem pewien.

\(\displaystyle{ \Delta_5 = \left|\begin{array}{ccccc}
5 & 6 & 0 & 0 & 0\\
3 & 4 & 5 & 6 & 0\\
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
0 & 0 & 1 & 2 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right|}\)

\(\displaystyle{ \Delta_6 = \left|\begin{array}{cccccc}
5 & 6 & 0 & 0 & 0 & 0\\
3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 0\\
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right|}\)
Tutaj ostatni wiersz wydaje sie zupełnie nie mieć sensu.

1. Które z powyższych są dobrze rozpisane, a gdzie zrobiłem błędy?
2. Na czym polegają te błędy?
3. Czy ktoś ma może materiały z większą ilością przykładów?

PS. Nie jestem pewien działu, jeśli ten temat powinien być zamieszczony gdzie indziej, prosze o przeniesienie.-- 8 gru 2013, o 10:44 --Nie mogę znaleźć na tym forum przycisku "edycja", a zagadnienie rozwiązałem. Jak jakiś miły mod sie zainteresuje, to tego posta można włączyć do mojego pierwszego, a temat zamknąć. Może to, co tu naskrobie przyda się potomnym

Ze złej strony się do tego zabrałem, tj. od złej strony wielomianu.

Dla
\(\displaystyle{ 1x^5 + 2 x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 5x^1 + 6 = 0}\)

minory będą wyglądały następująco:
\(\displaystyle{ \Delta_1 = \left|\begin{array}{ccc}
2
\end{array}\right|}\)

\(\displaystyle{ \Delta_2 = \left|\begin{array}{ccc}
2 & 1\\
4 & 3
\end{array}\right|}\)

\(\displaystyle{ \Delta_3 = \left|\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 0\\
4 & 3 & 2\\
6 & 5 & 4
\end{array}\right|}\)

\(\displaystyle{ \Delta_4 = \left|\begin{array}{cccc}
2 & 1 & 0 & 0\\
4 & 3 & 2 & 1\\
6 & 5 & 4 & 3\\
0 & 0 & 6 & 5
\end{array}\right|}\)

\(\displaystyle{ \Delta_5 = \left|\begin{array}{ccccc}
2 & 1 & 0 & 0 & 0\\
4 & 3 & 2 & 1 & 0\\
6 & 5 & 4 & 3 & 2\\
0 & 0 & 6 & 5 & 4\\
0 & 0 & 0 & 0 & 6
\end{array}\right|}\)

I tu w sumie kończą się sensowne minory, bo wielomian jest 5. stopnia, więc 5. minor będzie ostatni, który ma znaczenie - później będą dochodzić już stricte zerowe wiersze. Dla potomnych, 6. minor wygląda tak:

\(\displaystyle{ \Delta_6 = \left|\begin{array}{cccccc}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
4 & 3 & 2 & 1 & 0 & 0\\
6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1\\
0 & 0 & 6 & 5 & 4 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 5\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right|}\)