Wektory lniowo zależne i niezależne

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
_p_h_p_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 155
Rejestracja: 29 paź 2005, o 16:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: W-wa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 4 razy

Wektory lniowo zależne i niezależne

Post autor: _p_h_p_ »

Dopiero zaczynam te rzeczy, więc mam pewne wątpliwości. Czy mógłby mi ktoś powiedziec, co w koncu oznacza, że wektory są liniowo niezależne? Czy są to wektory tylko do siebie równoległe? Jeżeli wektory leżą na jednej prostej to są lniowo zależne? Jak się przecinają w dowolnych miejscach to są lniowo zależne?

Jeżeli wyznacznik macierzy utworzony z wektorów jest równy 0, to wektory są liniowo zależne.

Jeszcze jedna wątpliwośc wynika z faktu rozwiązywania równań układem Cramera. Wyznacznik główny musi byc różny od zera. Czy to oznacza, że wektory są wtedy liniowo niezależne? Jeśli tak to dlaczego można policzyc te równanie, skoro wektory liniowo niezależne nie przecinaja sie?

Sami widzicie, z powyższych pytań, że się zgubiłem

Mam nadzieje, że ktoś mnie zrozumie i wytlumaczy wątpliowści.
mgd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 112
Rejestracja: 22 kwie 2007, o 14:02
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 31 razy

Wektory lniowo zależne i niezależne

Post autor: mgd »

Jeżeli wektory są równoległe, to na pewno są zależne, bo za pomocą jednego możesz otrzymać drugi. Np. masz równoległe wektory równoległe długości 1 i 2, to jak ten pierwszy pomnożysz przez 2, to otrzymasz ten drugi.

W większej ilości wymiarów jest podobnie, jeśli z dowolnych 2 wektorów możesz ułożyć trzeci jako kombinację liniową tzn. \(\displaystyle{ w_3=a_2w_2+a_1w_1}\), to ta rtójka jest zależna. (Analogicznie zamiast trójki wpisz n - i masz wszystkie wymiary).

Jeśli wektory są niezależne, to wcale nie znaczy, że się przecinają (to nie ma nic do rzeczy). Np. Masz dwa nierównoległe wektory na płaszczyżnie (oba leżą sobie na stole np.). Niezależny od nich wektor, będzie wyprowadzał w 3 wymiar (tzn. pokazywał w sufit, albo w podłogę).

Jeżeli wyznacznik jest różny od 0, to znaczy, że równanie, \(\displaystyle{ a_1w_1+a_2w_2+...+a_nw_n=0}\) ma tylko jedno rozwiązanie, takie, że \(\displaystyle{ a_1=a_2=...=a_n}\), czyli nie uda mi się żadnego z wektorów ułożyć za pomocą pozostałych, więc są niezależne. (Jak równy zero, to zależne oczywiście)

W układzie Cramera wyznacznik mówi ile jest rozwiązań równania (np. ile jest rozwiązań równania z poprzedniego akapitu).

I jeszcze jedno, wektor, to jest taka "strzałka", która ma kierunek i długość i można ją dowolnie przesuwać, byle nie zmienić kierunku i długości, więc nie można mówić, że "wektory przecinają się". Przecinać mogą się proste, płaszczyzny, lub inne przestrzenie.
ODPOWIEDZ