układ równań

slawek5170 · Post autor: **slawek5170** » 5 gru 2013, o 23:49

Rozwiąż układ równań. podstawiłem do wyznacznika i nie wiem jak dalej ruszyć

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x-5y+2z+4t=2\\7x-4y+z+3t=5\\5x+7y-4z-6t=3 \end{cases}}\)

lukequaint · Post autor: **lukequaint** » 6 gru 2013, o 00:04

W jaki sposób podstawiłeś do wyznacznika? Spróbuj Gaussa metodą eliminacji.

slawek5170 · Post autor: **slawek5170** » 6 gru 2013, o 00:09

właśnie tak próbowałem i mi nie wyszło. chodzi o to, że trzeba sprowadzić do 1 na przekątnej tak? (macierzy diagonalnej?)

lukequaint · Post autor: **lukequaint** » 6 gru 2013, o 00:17

Mamy układ trzech równań z czterema niewiadomymi - nie ma przekątnej. Przede wszystkim trzeba macierz sprowadzić do postaci schodkowej i sprawdzić, z tw. Kroneckera-Capellego, czy rząd macierzy rozszerzonej jest równy rzędowi macierzy podstawowej - czy układ ma rozwiązanie.

slawek5170 · Post autor: **slawek5170** » 6 gru 2013, o 00:21

bardzo proszę o konkretną pomoc, bo poczytałem trochę o tych twierdzeniach, ale nie wiem jak to zrobić

lukequaint · Post autor: **lukequaint** » 6 gru 2013, o 00:30

Zapisujemy macierz rozszerzoną układu:
\(\displaystyle{ \left(
\begin{array}{cccc|c}
3&-5&2&4&2\\
7&-4&1&3&5\\
5&7&-4&-6&3
\end{array}
\right)}\)

I sprowadzamy do postaci schodkowej operacjami na wierszach:
1) dodaniem do wiersza wielokrotności innego,
2) pomnożeniem wiersza przez liczbę rzeczywistą (\(\displaystyle{ \neq 0}\)),
3) zamianą dwóch wierszy miejscami.

Zerknij tutaj: 348059.htm i spróbuj doprowadzić powyższą macierz do postaci schodkowej.

slawek5170 · Post autor: **slawek5170** » 6 gru 2013, o 10:04

\(\displaystyle{ \left( \begin{array}{cccc|c} 1&-17&8&14&1\\ 0&115&-55&-95&-2\\ 0&92&-44&-76&-2 \end{array} \right)}\)
doszedłem do tej postaci i nie wiem co dalej. Nawet nie wiem czy to jest dobrze

lukequaint · Post autor: **lukequaint** » 6 gru 2013, o 12:03

Załóżmy, że jest dobrze (musiałbyś rozpisać jak doszedłeś do tej postaci). Kontynuujmy, by otrzymać macierz schodkową, tzn. wyzerować jak najwięcej początkowych wyrazów w wierszach. Np. teraz możemy odjąć od drugiego wiersza trzeci, otrzymując:
\(\displaystyle{ \left( \begin{array}{cccc|c} 1&-17&8&14&1\\ 0&23&-11&-19&0\\ 0&92&-44&-76&-2 \end{array} \right)}\)
Następnie odejmujemy od trzeciego wiersza drugi pomnożony przez \(\displaystyle{ 4}\):
\(\displaystyle{ \left( \begin{array}{cccc|c} 1&-17&8&14&1\\ 0&23&-11&-19&0\\ 0&0&0&0&-2 \end{array} \right)}\).
Macierz podstawowa ma rząd \(\displaystyle{ 2}\), bo \(\displaystyle{ \left(0, 0, 0, 0)}\) jest liniowo zależny z dwoma pozostałymi wektorami, natomiast macierz rozszerzona ma rząd \(\displaystyle{ 3}\), zatem (o ile dobrze wyliczyłeś podaną przez siebie macierz), z tw. Kroneckera-Capellego układ jest sprzeczny.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 14 gru 2013, o 20:50

Można wyznacznikami tyko trzeba najpierw sprowadzic układ równań do postaci Cramera