Liniowa niezależność w przestrzeni liniowej liczb R

[LeoBolzano]

Rzuciłby ktoś okiem na takie zadanie:

Wykaż, że liczby \(\displaystyle{ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}}\) traktowane jako wektory przestrzeni \(\displaystyle{ \RR}\) nad \(\displaystyle{ \QQ}\) są liniowo niezależne.

[szw1710]

To łatwe. Nie istnieją liczby wymierne \(\displaystyle{ a,b}\) takie, że \(\displaystyle{ \sqrt{5}=a\sqrt{2}+b\sqrt{3}}\). Inaczej \(\displaystyle{ 5=2a^2+3b^2+2ab\sqrt{6}}\), co nie jest możliwe. Podobnie sprawdzasz, że żadna z tych liczb nie jest kombinacją pozostałych.