Niech \(\displaystyle{ V = R[x]_3 = \left\{ f \in \mathbb{R}[x] | stf \le 3\right\}}\). Przekształcenie \(\displaystyle{ \varphi : V \rightarrow V}\) określone jest wzorem : \(\displaystyle{ \varphi(f)(x) = f(x+1)}\) .
a) Wykazać, że \(\displaystyle{ \varphi}\) jest liniowe
b) Znaleźć \(\displaystyle{ ker \varphi \ im \varphi}\)
c) Obliczyć macierz \(\displaystyle{ \varphi}\) w bazie \(\displaystyle{ (1,x,x^2,x^3)}\).
Proszę o wskazówki lub przykładowe rozwiązanie.
wielomian a przekształcenie liniowe
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
wielomian a przekształcenie liniowe
Sprawdzamy liniowość.
Niech \(\displaystyle{ f, g\in V}\). Chcemy wykazać, że \(\displaystyle{ \varphi(f)+\varphi(g)=\varphi(f+g)}\). Mamy równość funkcji, musimy więc pokazać ich równość w każdym punkcie.
Niech \(\displaystyle{ x\in\RR}\). Liczymy:
\(\displaystyle{ \varphi(f+g)(x)=(f+g)(x+1)=f(x+1)+g(x+1)=\varphi(f)(x)+\varphi(g)(x)=(\varphi(f)+\varphi(g))(x)}\).
Podobnie sprawdzamy jednorodność.
Niech \(\displaystyle{ f, g\in V}\). Chcemy wykazać, że \(\displaystyle{ \varphi(f)+\varphi(g)=\varphi(f+g)}\). Mamy równość funkcji, musimy więc pokazać ich równość w każdym punkcie.
Niech \(\displaystyle{ x\in\RR}\). Liczymy:
\(\displaystyle{ \varphi(f+g)(x)=(f+g)(x+1)=f(x+1)+g(x+1)=\varphi(f)(x)+\varphi(g)(x)=(\varphi(f)+\varphi(g))(x)}\).
Podobnie sprawdzamy jednorodność.