Wartości parametru a izomorfim

Bobi02 · Post autor: **Bobi02** » 4 gru 2013, o 18:05

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ r \in \mathbb{R}}\) przekształcenie \(\displaystyle{ \varphi : \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4}\),
\(\displaystyle{ \varphi((x_1,x_2,x_3,x_4))=(5x_1-x_2+rx_3 + 5x_4, 2x_1 -3x_2-6x_3 + rx_4,3x_1 +2x_2\\+x_3+4x_4, x_1+5x_2+7x_3+3x_4}\)

jest izomorfizmem?
Proszę o jakieś wskazówki

yorgin · Post autor: **yorgin** » 4 gru 2013, o 19:08

Jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest monomorfizmem i wtedy i tylko wtedy, gdy jest epimorfizmem. Korzystam tu z tego, że w przestrzeniach skończenie wymiarowych te pojęcia są równoważne.

Wystarczy więc na przykład sprawdzić, że macierz \(\displaystyle{ \varphi}\) jest maksymalnego rzędu, czyli ma niezerowy wyznacznik.

Bobi02 · Post autor: **Bobi02** » 4 gru 2013, o 19:14

A gdyby policzyć dla jakich \(\displaystyle{ r \ ker \ \varphi = \lbrace 0 \rbrace \wedge dim \ im \ \varphi = 4}\)?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 4 gru 2013, o 19:18

Gdyby to policzyć, to również jest poprawnie. Wszystkie te metody są dla tego zadania równoważne, możesz więc wybrać dowolną.