Odwzorowanie liniowe

[VillagerMTV]

Znajdź odwzorowanie liniowe:
\(\displaystyle{ V_{1}=kerf=<(2,1)> \ w \ \mathbb{R}^2}\)
\(\displaystyle{ V_{2}=imf=<(3,4)> \ w \ \mathbb{R}^2}\)
\(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2}\) jest liniowe.

Pomoże ktoś?:)

[yorgin]

\(\displaystyle{ f}\) jest postaci \(\displaystyle{ f(x,y)=(ax+by,cx+dy)}\).

Podstawiając warunek na jądro dostaniemy, że \(\displaystyle{ 0=f((2,1))=(2a+b,2c+d)}\).

Podobnie, wiemy, że dla każdego \(\displaystyle{ (x,y)}\) istnieje \(\displaystyle{ \alpha}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x,y)=\alpha (3,4)}\).

Połącz teraz oba warunki, by wyznaczyć współczynniki \(\displaystyle{ a, b, c, d}\).

Edit: poprawa jądra.

[VillagerMTV]

A gdzie używamy \(\displaystyle{ "=<(2,1)>"}\)?

Czyli z pierwszego dostajemy dwa równania:
\(\displaystyle{ 3=3a+4b}\) i \(\displaystyle{ 4=3c+4d}\).
A drugie nie wiem jak wykorzystać. Każdy x jest przemnożeniem 3 przez skalar?

[yorgin]

A gdzie używamy \(\displaystyle{ "=<(2,1)>"}\)?

Przepraszam, źle przepisałem warunek na jądro i wyszły totalne głupoty. Poprawiłem go w poprzednim poście, tzn

\(\displaystyle{ 0=f((2,1))=(2a+b,2c+d)}\)

[VillagerMTV]

Właśnie coś mi nie pasowało .

Czyli ma być:
\(\displaystyle{ 2=2a+b}\), \(\displaystyle{ 1=2c+d}\). A drugi warunek jak rozpisać? Że \(\displaystyle{ x=3\alpha}\) i \(\displaystyle{ y=4 \alpha}\)?

[yorgin]

Nie nie nie...

Z warunku na jądro masz

\(\displaystyle{ (2a+b,2c+d)=(0,0)}\), czyli \(\displaystyle{ 2a+b=0=2c+d}\).

Z warunku na obraz

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3\alpha = ax+by\\ 4\alpha = cx+dy\end{cases}}\)

Wyznaczamy z pierwszego równania \(\displaystyle{ \alpha}\) i podstawiamy do drugiego - pozbyliśmy się alfy. Dostajemy coś takiego:

\(\displaystyle{ cx+dy=\frac{4}{3}ax+\frac{4}{3}by}\)

Z dowolności \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) musi być

\(\displaystyle{ c=\frac{4}{3}a, d=\frac{4}{3}b}\)

Do obrazu można też podejść alternatywnie. Skoro \(\displaystyle{ f=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix}}\) oraz obraz jest jednowymiarowy, to rząd \(\displaystyle{ f}\) jest równy \(\displaystyle{ 1}\), a więc wiersze macierzy są liniowo zależne. Współczynnik proporcjonalności bierzemy z obrazu i dostajemy to samo, co poprzednio.

Żmudne to. Nie znam niestety żadnych gotowych wzorków i technik - powyższe wymyśliłem na poczekaniu.

[VillagerMTV]

Dziękuję bardzo

[MikolajB]

mam pytanie co do wyznaczenia współczynników a, b, c, d. z tych czterech równań dostajemy układ nieoznaczony, rozumiem, że trzeba zatem wyliczyć jedną literke za pomocą innych tak? ale co wtedy z nią robię?