baza i wymiar

[waliant]

znajdz baze i wymiar przestrzeni:

\(\displaystyle{ V=\left\{ \left( a+b+d,b+c,a+b+c,a\right):a,b,c,d \in R \right\}}\)

[yorgin]

\(\displaystyle{ (a+b+d,b+c,a+b+c,a)=a(1,0,1,1)+b(1,1,1,0)+c(0,1,1,0)+d(1,0,0,0)}\)

Wektory \(\displaystyle{ (1,0,1,1), (1,1,1,0), (0,1,1,0), (1,0,0,0)}\) generują \(\displaystyle{ V}\). Co dalej?

[waliant]

no na pewno drugi wektor da się przedstawić za pomocą trzeciego i czwartego (sumy), więc jest to układ liniowo zależny. Wyrzucając ten drugi wektor otrzymamy układ liniowo niezależny, ale nie tworzy on bazy, bo nie wygeneruje każdego wektora w tej przestrzeni (bo 3 współrzędna będzie zależna od 2 i 4), więc wystarczy uzupełnić do bazy wektorem \(\displaystyle{ \left( 0,0,1,0\right)}\).
Wtedy ten układ będzie liniowo niezależny oraz generuje tę przestrzeń, zatem jest bazą. Wymiar równy jest \(\displaystyle{ 4}\). [?]

[yorgin]

no na pewno drugi wektor da się przedstawić za pomocą trzeciego i czwartego (sumy), więc jest to układ liniowo zależny.

Ok.

Wyrzucając ten drugi wektor otrzymamy układ liniowo niezależny, ale nie tworzy on bazy, bo nie wygeneruje każdego wektora w tej przestrzeni (bo 3 współrzędna będzie zależna od 2 i 4),

Nie rozumiem argumentu przeciw bazie.

więc wystarczy uzupełnić do bazy wektorem \(\displaystyle{ \left( 0,0,1,0\right)}\).
Wtedy ten układ będzie liniowo niezależny oraz generuje tę przestrzeń, zatem jest bazą. Wymiar równy jest \(\displaystyle{ 4}\). [?]

Nie.

[waliant]

Nie rozumiem argumentu przeciw bazie.

Mamy teraz \(\displaystyle{ \left( a+c,b,a+b,a\right)}\)
No to możemy podać kontrprzykład:
nie wygenerujemy na przykład wektora \(\displaystyle{ \left( 7,2,4,8\right)}\). Wiadomo od razu, ile jest równa 2 i 4 współrzędna, a trzecia współrzędna jest ich sumą, zatem jest od nich zależna.

Dodając np. wektor, który podałem wcześniej sprawimy, że trzecia współrzędna będzie niezależna.

[yorgin]

Mamy teraz \(\displaystyle{ \left( a+c,b,a+b,a\right)}\)

A co się stało z \(\displaystyle{ d}\)?

No to możemy podać kontrprzykład:
nie wygenerujemy na przykład wektora \(\displaystyle{ \left( 7,2,4,8\right)}\).

Kontrprzykład na co? I co brak generowania tego wektora ma mieć wspólnego z wyznaczaniem bazy i wymiaru?

Wiadomo od razu, ile jest równa 2 i 4 współrzędna, a trzecia współrzędna jest ich sumą, zatem jest od nich zależna.

To się zgadza. Ile więc zostaje wektorów?

Dodając np. wektor, który podałem wcześniej sprawimy, że trzecia współrzędna będzie niezależna.

W jakim celu chcesz dodawać wektor? I uzupełniać do bazy czego?

Ja to zadanie rozwiązałbym tak: szukam wektorów generujących \(\displaystyle{ V}\), wyciągam z nich maksymalny układ wektorów liniowo niezależny. Stąd mam bazę i wymiar. Koniec zadania.

[waliant]

No to ok, od początku:

Wektory \(\displaystyle{ (1,0,1,1), (1,1,1,0), (0,1,1,0), (1,0,0,0)}\) generują przestrzeń V.
Jak chcesz wyciągnąć z nich maksymalny układ wektorów liniowo niezależnych ?

[AiDi]

No wybierasz te, które są liniowo niezależne. Po prostu.

Skoro cztery wektory są liniowo zależne, to można jeden z nich przedstawić za pomocą liniowej kombinacji pozostałych. Jak sobie tę kombinację podstawisz do ogólnego wzoru na element tej przestrzeni, to zobaczysz, że te pozostałe liniowo niezależne generują tę przestrzeń.

[waliant]

Już wiem chyba na czym polegał mój błąd.. Ja chciałem, aby wektory generowały cała przestrzeń czterowymiarową..

[AiDi]

Wtedy by nie było problemu, bo wystarczyłaby zwykła baza kanoniczna \(\displaystyle{ V}\) jest trójwymiarową podprzestrzenią w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\).

[yorgin]

No cóż, człowiek uczy się na błędach. Grunt to nie być na nie ślepym i wyciągać z nich wnioski.