Mam kilka pytań dotyczących dodawania/odejmowania macierzy i liczb.
1. Jak wiadomo nie można dodać ani odjąć liczby od macierzy i odwrotnie nie można do macierzy dodać ani odjąć liczby. Czyli nie można wykonać takich działań jak te poniżej:
a) \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c c} 1 & 3 \\ 5 & 4 \end{array} \right]-5}\) , b) \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c c} 1 & 3 \\ 5 & 4 \end{array} \right]+5}\) , c) \(\displaystyle{ 5-\left[ \begin{array}{c c} 1 & 3 \\ 5 & 4 \end{array} \right]}\) , d) \(\displaystyle{ 5+\left[ \begin{array}{c c} 1 & 3 \\ 5 & 4 \end{array} \right]}\) .
Można dodawać lub odejmować tylko macierze o tych samych wymiarach.
Zawsze każdą macierz kwadratową mogę zapisać jako iloczyn tej macierzy i macierzy jednostkowej (oznaczenie \(\displaystyle{ I}\) ).
np. \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \cdot I = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}}\) , albo macierz \(\displaystyle{ A}\) o wymarze 3x3 (więc także macierz jednostkowa musi mieć rozmiar 3x3) jest równa \(\displaystyle{ A \cdot I = A \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}\).
I tak można zrobić tylko dla macierzy kwadratowej, dla niekwadratowej nie da się, ponieważ macierz jednostkowa jest macierzą kwadratową, więc nie da się z niej zrobić niekwadratowej.
Tak?
2. To teraz mam takie pytanie związane z poprzednim punktem.
Otóż słyszałem, że niektórzy dostawali np. na testach, czy egzaminach do policzenia np. coś takiego
a) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}-2\cdot \begin{bmatrix} 7&8&0\\0&-1&3\end{bmatrix}+2}\)
b) \(\displaystyle{ B=\begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} - 3}\).
I teraz ja wiem, że z jednej strony zgodnie z poprzednim punktem odejmowanie/dodawanie liczby do macierzy jest niewykonalne, a z drugiej strony znalazłem w temacie " Czy mogę dodać liczbę i macierz? " na tym forum (adres: 58721.htm ), że
.Zawsze się przyjmuje przecież, że w wielomianach (czy innych funkcjach), stała jest mnożona przez macierz jednostkową. Taka umowa, że się ją pomija w zapisie. "
Czyli w takim razie punkt a) powinien zostać rozwiązany tak:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}-2\cdot \begin{bmatrix} 7&8&0\\0&-1&3\end{bmatrix}+2}\) \(\displaystyle{ =\begin{bmatrix} 1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 14&16&0\\0&-1&3\end{bmatrix}+2=\begin{bmatrix} -13&16&0\\4&6&3\end{bmatrix}+2}\)
i teraz do dwójki powinienem dopisać macierz jednostkową. My tutaj mamy macierz o wymiarze 2x3. A macierz jednostkowa jest macierzą kwadratową, więc tutaj nie można dopisać macierzy jednostkowej. Czyli co ostatecznym wynikiem jest \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -13&16&0\\4&6&3\end{bmatrix}+2}\).
Punkt b). \(\displaystyle{ B=\begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} - 3}\) Czyli teraz do trójki powinienem dopisać macierz jednostkową (oznaczenie \(\displaystyle{ I}\) ) o wymiarze tutaj 2x2.
\(\displaystyle{ B=\begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} - 3 =\begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} - 3 * I = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} - 3 * \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}}\) . Tak?
To teraz mam pytanie - to oznacza, że zapis taki jak np. \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} - 3}\) mam rozumieć jako \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} - 3 * I}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) jest macierzą jednostkową? I w tym zapisie \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} - 3}\) poprostu pominięto macierz jednostkową w celu uproszczenia, więc ja powinienem sobie ją dopisać by móc wykonać to działanie? Tak? Dobrze zrozumiałem.
3. Mam takie pytanie dot. obliczeń macierzy w WolframAlpha.
Otóż gdy wpiszę \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}+4}\) (adres: ) to otrzymam w wyniku \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}}\).
To oznacza, że WolframAlpha traktuje \(\displaystyle{ 4}\) jako \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}}\) i wykonał działanie:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}}\)
Dlaczego? Z czego to wynika? Dlaczego nie stosuje pomnożenia 4 przez macierz jednostkową?
4. I jeszcze pytanie związane z poprzednim punktem.
Czy zapis \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}}\) jest równoważny zapisowi\(\displaystyle{ [4] _{2x2}}\), gdzie 4x4 w dolnym indeksie to wymiar macierzy?
Czy WolframAlpha potraktował \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}+4}\) jako \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}+[4] _{2x2}}\) i dalej \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}}\)?
5. Gdybym chciał zapisać liczbę np. \(\displaystyle{ 4}\) w postaci macierzy to zapis wyglądał by tak: \(\displaystyle{ \left[ 4\right]}\) i jest to macierz o rozmiarze 1x1. Czyli \(\displaystyle{ 4 = \left[ 4\right]}\). Tak, dobrze to rozumiem?
Miłego dnia!