Dodawanie/odejmowanie liczb i macierzy

[qwers]

Witam!
Mam kilka pytań dotyczących dodawania/odejmowania macierzy i liczb.

1. Jak wiadomo nie można dodać ani odjąć liczby od macierzy i odwrotnie nie można do macierzy dodać ani odjąć liczby. Czyli nie można wykonać takich działań jak te poniżej:
a) \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c c} 1 & 3 \\ 5 & 4 \end{array} \right]-5}\) , b) \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c c} 1 & 3 \\ 5 & 4 \end{array} \right]+5}\) , c) \(\displaystyle{ 5-\left[ \begin{array}{c c} 1 & 3 \\ 5 & 4 \end{array} \right]}\) , d) \(\displaystyle{ 5+\left[ \begin{array}{c c} 1 & 3 \\ 5 & 4 \end{array} \right]}\) .

Można dodawać lub odejmować tylko macierze o tych samych wymiarach.

Zawsze każdą macierz kwadratową mogę zapisać jako iloczyn tej macierzy i macierzy jednostkowej (oznaczenie \(\displaystyle{ I}\) ).
np. \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \cdot I = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}}\) , albo macierz \(\displaystyle{ A}\) o wymarze 3x3 (więc także macierz jednostkowa musi mieć rozmiar 3x3) jest równa \(\displaystyle{ A \cdot I = A \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}\).
I tak można zrobić tylko dla macierzy kwadratowej, dla niekwadratowej nie da się, ponieważ macierz jednostkowa jest macierzą kwadratową, więc nie da się z niej zrobić niekwadratowej.

Tak?


2. To teraz mam takie pytanie związane z poprzednim punktem.
Otóż słyszałem, że niektórzy dostawali np. na testach, czy egzaminach do policzenia np. coś takiego
a) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}-2\cdot \begin{bmatrix} 7&8&0\\0&-1&3\end{bmatrix}+2}\)
b) \(\displaystyle{ B=\begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} - 3}\).

I teraz ja wiem, że z jednej strony zgodnie z poprzednim punktem odejmowanie/dodawanie liczby do macierzy jest niewykonalne, a z drugiej strony znalazłem w temacie " Czy mogę dodać liczbę i macierz? " na tym forum (adres: 58721.htm ), że

Zawsze się przyjmuje przecież, że w wielomianach (czy innych funkcjach), stała jest mnożona przez macierz jednostkową. Taka umowa, że się ją pomija w zapisie. "

.

Czyli w takim razie punkt a) powinien zostać rozwiązany tak:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}-2\cdot \begin{bmatrix} 7&8&0\\0&-1&3\end{bmatrix}+2}\) \(\displaystyle{ =\begin{bmatrix} 1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 14&16&0\\0&-1&3\end{bmatrix}+2=\begin{bmatrix} -13&16&0\\4&6&3\end{bmatrix}+2}\)
i teraz do dwójki powinienem dopisać macierz jednostkową. My tutaj mamy macierz o wymiarze 2x3. A macierz jednostkowa jest macierzą kwadratową, więc tutaj nie można dopisać macierzy jednostkowej. Czyli co ostatecznym wynikiem jest \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -13&16&0\\4&6&3\end{bmatrix}+2}\).

Punkt b). \(\displaystyle{ B=\begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} - 3}\) Czyli teraz do trójki powinienem dopisać macierz jednostkową (oznaczenie \(\displaystyle{ I}\) ) o wymiarze tutaj 2x2.
\(\displaystyle{ B=\begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} - 3 =\begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} - 3 * I = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} - 3 * \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}}\) . Tak?


To teraz mam pytanie - to oznacza, że zapis taki jak np. \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} - 3}\) mam rozumieć jako \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} - 3 * I}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) jest macierzą jednostkową? I w tym zapisie \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} - 3}\) poprostu pominięto macierz jednostkową w celu uproszczenia, więc ja powinienem sobie ją dopisać by móc wykonać to działanie? Tak? Dobrze zrozumiałem.




3. Mam takie pytanie dot. obliczeń macierzy w WolframAlpha.

Otóż gdy wpiszę \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}+4}\) (adres: ) to otrzymam w wyniku \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}}\).

To oznacza, że WolframAlpha traktuje \(\displaystyle{ 4}\) jako \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}}\) i wykonał działanie:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}}\)

Dlaczego? Z czego to wynika? Dlaczego nie stosuje pomnożenia 4 przez macierz jednostkową?




4. I jeszcze pytanie związane z poprzednim punktem.
Czy zapis \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}}\) jest równoważny zapisowi\(\displaystyle{ [4] _{2x2}}\), gdzie 4x4 w dolnym indeksie to wymiar macierzy?

Czy WolframAlpha potraktował \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}+4}\) jako \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}+[4] _{2x2}}\) i dalej \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}}\)?



5. Gdybym chciał zapisać liczbę np. \(\displaystyle{ 4}\) w postaci macierzy to zapis wyglądał by tak: \(\displaystyle{ \left[ 4\right]}\) i jest to macierz o rozmiarze 1x1. Czyli \(\displaystyle{ 4 = \left[ 4\right]}\). Tak, dobrze to rozumiem?


Miłego dnia!

[qwe771]

AD 1) Macierz jednostkowa jest z definicji macierzą kwadratową

-- 1 gru 2013, o 19:27 --

AD 2) macierze można mnożyć przez skalar zapis \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -13&16&0\\4&6&3\end{bmatrix} + 2}\) to wszystko do czego możesz sprowadzić. Jeśli dostaniesz na kolokwium coś w stylu macierz dodać liczba, to się zapytaj co masz z tym zrobić, bo macierz \(\displaystyle{ +2}\) a macierz \(\displaystyle{ +2I}\) to zupelnie co innego-- 1 gru 2013, o 19:29 --AD 3) wynika to z tego, że programista tak zaimplementował. Ponieważ ludzie wpisują różne dziwne rzeczy w wolframa, zadaniem programistow jest zrobic to tak, by wolfram rozczytywał jak największa ilość różnych rzeczy, które użytkownik do niego wpisze. Pytanie, czy Wolfram roczyta to tak, jak Ty to miałeś na myśli

[rtuszyns]

Czy zapis \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}}\) jest równoważny zapisowi \(\displaystyle{ [4] _{2\times 2}}\), gdzie \(\displaystyle{ 4\times 4}\) w dolnym indeksie to wymiar macierzy?

gdzie \(\displaystyle{ 2\times 2}\) a nie \(\displaystyle{ 4\times 4}\)

[qwe771]

AD 4)

nigdy nie widziałęm, żeby ktoś to zapisywał w ten sposób, ale chyba można.

AD 5)

no nie liczba a macierz to co innego, prawdą jest natomiast, że wyznacznik macierzy jedoelementowej jest równy jej elementowi

[qwers]

Bardzo dziękuję za udzielone odpowiedzi.

1. Czyli to co napisałem w punkcie 1 i 4 (oprócz "gdzie 4x4 w dolnym indeksie to wymiar macierzy" gdzie powinno być napisane 2x2. To była pomyłka)? Tak?


2. A tak w ogóle gdy spotkam zapis w stylu/rodzaju - \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} - 3}\) - to tego tak ogólnie wykonać się nie da. I tyle. Tak?


3. Czyli nie ma czegoś takiego jak zamiana macierzy w liczbę i odwrotnie zamiana liczby w macierz. Tak?



4. To ja jeszcze chciałbym prosić o wyjaśnienie mi jednego. Wiem, że macierz to prostokątna tablica liczb. Ale, ja jakoś nie rozumiem do końca czym właściwie w istocie ona jest.
Mam rozumieć, że macierz nie jest liczbą?

Ale tak właściwie to czym ona jest? Rodzajem wielkości takim jak wektor, czy skalar (czyli liczba). Mamy wielkości skalarne (sklary, czyli liczby), wektorowe. To co tutaj mamy wielkość macierzową?
Ale, to też nie za bardzo pasuje ponieważ wektor można przedstawić w postaci macierzy? A dlaczego liczby nie można? To jak to jest?

Czy mógłbym prosić o wyjaśnienie mi tego, bo naczytałem i naszukałem się już sporo, ale nic nie znalazłem co by to tłumaczyło.

[qwe771]

ad 1.

nie spotykałem się często z tym zapisem spotykałem się z \(\displaystyle{ \left[ a _{ij} \right] _{n \times m}}\)
ale na zdrowy rozum jeśli podstawić pod \(\displaystyle{ a _{ij} = 4}\) to ozn. to macierz z samych 4

ad 2

takiego czegoś się zrobić nie da, jak widzisz coś takiego to zostawiasz to tak jak jest, chyba, że masz profesora, co tworzy własne oznaczenia, wtedy się go dopytaj, co ma na myśli pisząc coś takiego.

ad 3

"zamiana" macierzy w liczbę może następować za pomocą np operacji liczenia wyznacznika lub śladu, ale nie ma czegoś takiego, że \(\displaystyle{ [4] = 4}\), macierz to macierz, wektor to wektor, skalar to skalar, 5 jabłek to 5 jabłek, a nie gruszek .

ad 4

no dokładnie macierz to prostokątna tablica z liczbami na każdej współrzędnej. Macierze mogą oznaczać wiele rzeczy, np można układ równań wpisać do macierzy albo bazy przestrzeni liniowych, albo milion innych rzeczy. Sama macierz oderwana z kontekstu to po prostu zbiór liczb wsadzonych w prostokąt; możesz to też interpretować np jako zbiór wektorów obok siebie, ale tak samo, jak widzisz \(\displaystyle{ 173}\) i tak na prawdę nie wiesz co to oznacza, dopóki nie zostanie użyte w jakimś kontekście. Bo może to znaczyć np \(\displaystyle{ 173}\) grosze albo \(\displaystyle{ 173}\) wymiary danej przestrzeni liniowej

[qwers]

Dziękuję za odpowiedź. Już rozumiem.

Ale, mam jeszcze jeden problem z poniższym równaniem macierzowym.
1.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2\\1&3\end{bmatrix} \cdot X+\begin{bmatrix} 1&0\\1&3\\2&0\end{bmatrix} ^{T} \cdot \begin{bmatrix} 2&-1&0\\2&0&0\\2&1&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&1&1\\1&1&-1\end{bmatrix}}\)

I moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2\\1&3\end{bmatrix} \cdot X+\begin{bmatrix} 1&1&2\\0&3&0\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 2&-1&0\\2&0&0\\2&1&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&1&1\\1&1&-1\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2\\1&3\end{bmatrix} \cdot X+\begin{bmatrix} 8&1&6\\6&0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&1&1\\1&1&-1\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2\\1&3\end{bmatrix} \cdot X=\begin{bmatrix} 1&1&1\\1&1&-1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 8&1&6\\6&0&0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2\\1&3\end{bmatrix} \cdot X=\begin{bmatrix} -7&0&-5\\-5&1&-1\end{bmatrix}}\) /*L \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2\\1&3\end{bmatrix} ^{-1}}\) (mnożymy obustronnie z lewej strony przez macierz odwracaną)



Odwrotność \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2\\1&3\end{bmatrix}}\) obliczam ze wzoru \(\displaystyle{ A ^{-1} = \frac{1}{|A|} * (A ^{D}) ^{T}}\), gdzie A to macierz odwracana - \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2\\1&3\end{bmatrix} ^{-1}}\).
\(\displaystyle{ \left| A\right| =\begin{vmatrix} 1&2\\1&3\end{vmatrix}=3-2=1}\) (wyznacznik macierzy A)
\(\displaystyle{ A^{D}=\begin{bmatrix} |3|&-|1|\\-|2|&|1|\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3&-1\\-2&1\end{bmatrix}}\) (dopełnienie algebraiczne macierzy A)
I wstawiając do wzoru: \(\displaystyle{ A^{-1}= \frac{1}{|1|} \cdot \begin{bmatrix} 3&-1\\-2&1\end{bmatrix}^{T}= \frac{1}{1} \cdot \begin{bmatrix} 3&-2\\-1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3&-2\\-1&1\end{bmatrix}}\)


Wracając do równania:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2\\1&3\end{bmatrix} \cdot X= \begin{bmatrix} -7&0&5\\-5&1&-1\end{bmatrix}}\) */L \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&-2\\-1&1\end{bmatrix}}\) (mnożymy obustronnie z lewej strony przez macierz odwracaną)

\(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix} 3&-2\\-1&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -7&0&5\\-5&1&-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -11&-2&17\\2&1&-6\end{bmatrix}}\)


A w odpowiedzi jest wynik: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -11&-2&-13\\2&1&4\end{bmatrix}}\) (różnica jest w ostatniej kolumnie).

To co ja zrobiłem źle?



2. Sprawdzałem te moje obliczenia w WolframAlpha i tam też zauważyłem dziwną rzecz.

Gdy wpisuję formułę

Kod: Zaznacz cały

{{3, -2}, {-1, 1}} * {{-7,0,5},{-5,1,-1}}

czyli \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&-2\\-1&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -7&0&5\\-5&1&-1\end{bmatrix}}\) to w wyniku otrzymuję \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -11&-2&17\\2&1&-6\end{bmatrix}}\). Adres www: }} . Czyli jest to działanie wykonane w ostatnim punkcie obliczeń. I to zgadza się z moimi obliczeniami.

Ale, gdy wpiszę taką formułę

Kod: Zaznacz cały

{{1,2},{1,3}}^(-1) * {{-7, 0, -5}, {-5, 1, -1}}

czyli \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2\\1&3\end{bmatrix} ^{-1} \cdot \begin{bmatrix} -7&0&5\\-5&1&-1\end{bmatrix}}\) to w wyniku otrzymuję \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -11&-2&-13\\2&1&4\end{bmatrix}}\)

Adres www: }}

To o co tutaj chodzi?
Przecież chyba macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2\\1&3\end{bmatrix} ^{-1}}\) jest chyba równa macierzy\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&-2\\-1&1\end{bmatrix}}\)?, To jaka jest różnica między zapisem \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2\\1&3\end{bmatrix} ^{-1} \cdot \begin{bmatrix} -7&0&5\\-5&1&-1\end{bmatrix}}\), a \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&-2\\-1&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -7&0&5\\-5&1&-1\end{bmatrix}}\)? Jeśli te zapisy są równoważne to powinny dać ten sam wynik.
Gdy wpiszę do WolframAlpha formułę

Kod: Zaznacz cały

inverse {{1,2},{1,3}}

czyli odwrócenie macierzy A to w wyniku otrzymuję wartość \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&-2\\-1&1\end{bmatrix}}\) (adres www: http://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse+{{1%2C2}%2C{1%2C3}} ).

To w czym jest problem i o co tu chodzi?

3. A czy ktoś wie co trzeba wpisać w WolframAlpha, aby rozwiązać równanie macierzowe np. takie jak \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4&-3\\3&-2\end{bmatrix}X =\begin{bmatrix} 5&2\\0&0&\end{bmatrix}}\) ?
Ja wpisywałem:

Kod: Zaznacz cały

{{4,-3},{3,-2}}*X={{5,2},{0,0}}

albo

Kod: Zaznacz cały

solve {{4,-3},{3,-2}}*X={{5,2},{0,0}}

Ale, żadne z nich nie działa.

[qwe771]

ad 1,2

Twój błąd raz wpisałeś w macierzy prostokątnej \(\displaystyle{ -5}\) a raz \(\displaystyle{ 5}\)

zobacz swoje linki.

ad 3

tu masz taki bardziej zaawansowany kalkulator, na nim łatwiej liczyć macierze niż na wolframie, bo ma bardziej przyjazny interfejs ^^

... x?id=15702

a jak w wolframie to zrobić, to nie wiem

[qwers]

Dziękuję za odpowiedź.

To znaczy, że to moje rozwiązanie równania przedstawione w punkcie pierwszym jest poprawne?

Czyli rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2\\1&3\end{bmatrix} \cdot X+\begin{bmatrix} 1&0\\1&3\\2&0\end{bmatrix} ^{T} \cdot \begin{bmatrix} 2&-1&0\\2&0&0\\2&1&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&1&1\\1&1&-1\end{bmatrix}}\)

jest \(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix} 3&-2\\-1&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -7&0&5\\-5&1&-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -11&-2&17\\2&1&-6\end{bmatrix}}\) ?

Czyli w odpowiedzi jest bład? Tak?

[qwe771]

w odpowiedziach w książce jest dobrze, Twoje rozumowanie też jest dobre, zauważ tylko, że jak w poście kilka wyżej pokazujesz jak liczysz, w pewnym momencie zapomniałeś dopisać minusa koło piątki, w związku z czym rozwiązanie się posypało

Wracając do równania:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2\\1&3\end{bmatrix} \cdot X= \begin{bmatrix} -7&0&5\\-5&1&-1\end{bmatrix} */L \begin{bmatrix} 3&-2\\-1&1\end{bmatrix}}\) (mnożymy obustronnie z lewej strony przez macierz odwracaną)

o tutaj już zapomniałeś minusa i dalej przepisywałeś już bez niego

powinno być \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -7&0&-5\\-5&1&-1\end{bmatrix}}\)-- 3 gru 2013, o 20:34 --a Twoje problemy z wolframem, że dawał różne odpowiedzi wynikają z tego, że raz wpisywałeś z piątką a raz z minus piątką, zobacz uważnie tam gdzie pokazuejsz jaki kod w wolframa wpisujesz

[qwers]

Mam dwa pytania.

1. Gdy, chcę obliczyć macierz odwrotną metodą Gaussa-Jordana
to nie mogę wykonywać operacji na kolumnach. Chciałbym się upewnić czy mogę zamieniać wiersze kolejnością.

Pytam ponieważ na łamach jednego z serwisów www znalazłem taką informację - "Teraz zaprezentujemy przykład obliczania macierzy odwrotnej metodą Gaussa-Jordana, należy pamiętać że o ile przy rozwiązywaniu układów równań wolno nam było zamieniać wiersze między sobą (nie zastosowaliśmy tego w przykładzie powyżej), to przy obliczaniu macierzy odwrotnej nie możemy tego robić. ".

W innym serwisie internetowym znalazłem informację - "Zamiana wierszy nie wpływa na macierz odwrotną".

To jak to jest. To w końcu mogę przy obliczaniu macierzy odwrotnej metodą Gaussa-Jordana zamieniać wiersze kolejnością?

2. I przy obliczaniu macierzy odwrotnej metodą Gaussa-Jordana oczywiście mogę mnożyć/dzielić wiersze przez liczby (skalar), dodawać/odejmować do siebie wiersze, dodawać/odejmować wiersz pomnożony przez dowolną liczbę do innego wiersza. Tylko nie mogę nic zrobić z kolumnami (np. zamienić ich kolejnością) Tak?

3. I mam jeszcze pytanie dotyczące metody LU. Bo z tego co zauważyłem to macierz, którą rozkładamy musi być zawsze kwadratowa. Tak?


No dobrze. Ale metoda LU pozwala rozwiązywać układy równań. We wszystkich przykładach jakie dotąd widziałem, wszędzie macierz rozkładana była kwadratowa, czyli liczba zmiennych (niewiadomych) była równa liczbie równań. I teraz moje główne pytanie. A co jeżeli chciałbym rozwiązać układ równań metodą LU, w którym liczba zmiennych (niewiadomych) nie będzie równa liczbie niewiadomych?

Np.
Mamy takie coś:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc}2&4&5&8 \\1&7&2&4\\3&9&6&1\\8&2&9&7 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 87&49&79&121\end{array} \right]}\)
Tu mamy układ, w którym liczba zmiennych jest równa liczbie równań.



A, gdybym miał taki układ, w którym liczba zmiennych nie będzie równa liczbie równań? Tak jak tu:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x _{1}+2x _{2}+4 x^{3} =15 \\ 4x _{1}+5x _{2} +x _{3} =24 \end{cases}}\)
To powinienem to zapisać tak:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc}3&2&4 \\4&5&1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 15&24&\end{array} \right]}\)
I teraz ta macierz z lewej nie jest kwadratowa. To co mam dopisać do tej macierzy z lewej cały wiersz z zerami (czyli 3 zera) i do macierzy po znaku równości też mam dopisać na dole 0? Tak? A, więc jak zapisać taki układ równań za pomocą macierzy LU?

[qwe771]

ad 1. Nie nie możesz, możesz sobie schodkować, ale nie wolno Ci zamienić wierszów kolejnością
ad 2 Tak
ad 3. A w czym problem przecież, możesz mnożyć macierze przez siebie jak dłlugo liczba kolumn pierwszej równa się liczbie wierszów drugiej

[qwers]

1. No dobrze. Ale odnośnie tego trzeciego punktu, to jak rozłożyć macierz niekwadratową rozkładem LU? Na przykład taką jak ta, która powstała by z takiego układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x _{1}+2x _{2}+4 x^{3} =15 \\ 4x _{1}+5x _{2} +x _{3} =24 \end{cases}}\)

Ja myślałem, że trzeba dopisać sobie zera (o czym pisałem w poprzednim poście) doprowadzając do powstania macierzy kwadratowej.

Na podstawie przykładów i informacji jakie dotąd widziałem wynika, że aby zastosować rozkład LU muszę mieć macierz kwadratową. We wszystkich przykładach też zawsze były macierze kwadratowe. A jak to zastosować do niekwadratowych.

To jak w końcu rozkłada się niekwadratowe macierze rozkładem LU?

2. To rozkład LU może stosowany do rozwiązywania dowolnych układów równań również tych, w których liczba równań nie jest równa liczbie niewiadomych (tyle, że wtedy otrzymamy macierz niekwadratową)? Da się rozkładem LU rozwiązać każdy dowolny układ równań (o ile posiada rozwiązanie) ? To jest to metoda uniwersalna?

3. Jak rozumiem każdą macierz kwadratową można rozłożyć za pomocą rozkładu LU? Tak?
4. A jak ma się to do macierzy niekwadratowych?

5.Szukając w internecie informacji o rozkładzie LU, natknąłem się na rozkład SVD (Rozkład według wartości osobliwych). To rozkładem SVD da się obliczyć dowolny układ równań (o dowolnej liczbie zmiennych i dowolnej liczbie równań)?

6.I mam jeszcze sprawę związaną z równaniami macierzowymi. Ja potrafię rozwiązać równanie macierzowe tylko metodą z wykorzystaniem macierzy odwrotnej. A czy są jeszcze jakieś inne metody rozwiązywania równań macierzowych i jeśli tak to jakie?

7. Na YouTube znalazłem film pt. "Równania macierzowe - jak znaleźć niewiadomą macierz [holicy.pl] " (ponieważ na tym forum chyba nie można zamieszczać linków, więc podam tylko tytuł) i próbowałem zastosować przedstawioną tam metodę do równania:

\(\displaystyle{ X * \begin{bmatrix} 0 & 1&2 \\ 1 & 1&-1\\1&1&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 7 &-6\\ -12 & 14&2 \end{bmatrix}}\)
Tak więc szukana macierz \(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix} a & b&c \\ d&e & f \end{bmatrix}}\)
Napisałem więc 2 układy równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0a+b+c=1 \\ a+b+c=7\\2x-b+c=-6 \end{cases}
\begin{cases} 0d+e+f=12\\d+e+f=14\\2d-e+f=2 \end{cases}}\)
Dla pierwszego (lewy) układu równań otrzymałem wartości: a=\(\displaystyle{ 6}\) b= \(\displaystyle{ 9\frac{1}{2}}\) c=\(\displaystyle{ -8 \frac{1}{2}}\)
Ale, drugi jest sprzeczny, czyli nie ma rozwiązań.
To co tu jest nie tak?
Czy da się tą metodą rozwiązać takie równanie?-- 16 gru 2013, o 20:20 --8. I jeszcze jedno. Ja słyszałem, że każdy układ równań da się sprowadzić do układu Cramera. Czy to prawda? I jeśli tak to jak tego dokonać (czyli jak sprowadzić układ dowolny układ równań do układu równań Cramera)?