Udowodnij, ze funkcja jest wzajemnie jednoznaczna

Mikus933 · Post autor: **Mikus933** » 1 gru 2013, o 11:19

Witam. Mam taki problem, nie wiem jak się nawet za to zabrać. Moglibyście mnie nakierować jak takie zadanie robić ? Najlepiej jakiś przykład, nawet całkowicie inny, ale aby robiło się go w podobny sposób. Prawdopodobnie może to być jedno z zadań na moim kolokwium (w sensie że podobne zadanie może być na kolokwium).

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie ustaloną macierzą odwracalną wymiaru \(\displaystyle{ n \times n}\) o współczynnikach rzeczywistych. Definiujemy funkcję \(\displaystyle{ \phi_A:M_n(R) \rightarrow M_n(R)}\) wzorem
\(\displaystyle{ \phi_A(X)=AXA^{-1},}\) \(\displaystyle{ X \in M_n(R).}\)

Udowodnij, że \(\displaystyle{ \phi_A}\) jest funkcją wzajemnie jednoznaczną (tzn. bijekcją) i ponadto że dla dowolnych \(\displaystyle{ X,Y \in M_n(R)}\) i \(\displaystyle{ \lambda\in R}\)

\(\displaystyle{ \phi_A(\lambda X)=\lambda\phi_A(X)}\)
\(\displaystyle{ \phi_A(X+Y)=\phi_A(X)+\phi_A(Y),}\)
\(\displaystyle{ \phi_A(XY)=\phi_A(X)\phi_A(Y).}\)

Jak wygląda macierz \(\displaystyle{ \phi_A(I)}\)? Pokaż, że dla dowolnej macierzy odwracalnej \(\displaystyle{ B \in M_n(R)}\), macierz \(\displaystyle{ \phi_A(B)}\) jest odwracalna i wówczas \(\displaystyle{ (\phi_A(B))^{-1}=\phi_A(B)^{-1}}\).

Rozumiem że \(\displaystyle{ \phi_A}\) to jest macierz kwadratowa wypełniona \(\displaystyle{ X}\)ami rzeczywistymi, tak ? Do tego \(\displaystyle{ \lambda}\) również jest liczbą rzeczywistą przez którą mnożymy macierz \(\displaystyle{ \phi_A(X)}\)? Lecz nie wiem i tak jak to ugryźć... Prosiłbym o pomoc.
Pozdrawiam. Mikołaj.

matmatmm · Post autor: **matmatmm** » 1 gru 2013, o 11:29

A w czym jest problem? Zadanie właściwie sprowadza się do podstawiania do definicji.

Mikus933 · Post autor: **Mikus933** » 1 gru 2013, o 11:42

No właśnie nie rozumiem jak to zrobić. Mógłbyś zrobić np. przykład pierwszy, lub wyjaśnić mi jak to dokładnie zrobić ? Bym musiał sobie to zobrazować i przeanalizować.

matmatmm · Post autor: **matmatmm** » 1 gru 2013, o 11:48

A znasz na przykład definicję funkcji wzajemnie jednoznacznej? Jeśli tak, to zapisz ją dla tej naszej funkcji.

Mikus933 · Post autor: **Mikus933** » 1 gru 2013, o 12:54

Nie znam definicji funkcji wzajemnie jednoznacznej, nie miałem tego ani na wykładnie ani na ćwiczeniach. Da się to zrobić innym sposobem?

EDIT: Przeczytałem jej definicje w internecie (np. na wikipedii), ale nadal nic z tego nie rozumiem... Nikt mi tak naprawdę nie chce pomóc i porządnie tego wytłumaczyć ? Bo jak na razie te rady były niewystarczające...-- 2 gru 2013, o 18:29 --Przepraszam, że pisze post pod postem, ale to jest bardzo dla mnie istotne. Mógłby ktoś mi wytłumaczyć o co tutaj w końcu chodzi czy chcecie mieć biednego studenta na sumieniu ? Oczywiście dobrą pomoc nagrodzę jak na forumowicza przystało.