Liniowa niezależnośc funkcji trygonometrycznych

[myszka9]

Czy \(\displaystyle{ f_1, f_2, f_3}\) są liniowo niezależne

\(\displaystyle{ f_1(x)=1 \\
f_2(x)=\sin x \\
f_3(x)= \cos 2x \\}\)

\(\displaystyle{ x\in \RR}\)

MOJE ROZWIĄZANIE :

Pytamy się czy :

\(\displaystyle{ a +b \sin x + c \cos 2x = 0 \Rightarrow a=b=c=0}\)

NIE!
\(\displaystyle{ a=0 , b=3 , c=0}\)
dla \(\displaystyle{ x=0}\) :

\(\displaystyle{ 0+3\cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0}\)
Ale \(\displaystyle{ b \neq 0}\)

Wniosek : nie są liniowo niezależne, wystarczy ?

[szw1710]

Nie o to chodzi. Dla liniowej zależności pewien układ skalarów musiałby dać funkcję stale równą zero, a nie jedynie funkcję z miejscem zerowym.

Np. układ funkcji \(\displaystyle{ f_1(x)-1}\), \(\displaystyle{ f_2(x)=x}\) jest liniowo niezależny, a funkcja \(\displaystyle{ f(x)=f_1(x)-f_2(x)=1-x}\) ma miejsce zerowe \(\displaystyle{ x=1}\). Więc zupełnie nie o to chodzi.

Liniową niezależność układu funkcji najlepiej sprawdzamy badając wyznacznik

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
f_1(x)&f_1(y)&f_1(z)\\
f_2(x)&f_2(y)&f_2(z)\\
f_3(x)&f_3(y)&f_3(z)
\end{vmatrix}\,,}\)

który ma być niezerowy dla wszystkich \(\displaystyle{ x<y<z}\).

[norwimaj]

W tym zadaniu można się wspomóc całkami.

\(\displaystyle{ \int_0^{2\pi}f_i(x)f_j(x)\dd x=\ldots}\)

Tutaj to nie ma wielkiego znaczenia, ale w zadaniu trochę ogólniejszym to chyba najprostszy sposób.

[myszka9]

Wychodzi, że nie jest, bo :

\(\displaystyle{ det = \sin y (\cos 2z - \cos 2x) + \sin x(\cos 2y - \cos 2z) + \sin z(\cos 2x - \cos 2z)}\)

dla
\(\displaystyle{ x=0 \\
y= \pi \\
z= 2\pi}\)

Wyznacznik \(\displaystyle{ = 0}\).

Teraz w porządku?

Dlaczego w taki sposób?

[szw1710]

norwimaj ale Twój warunek mówi jedynie tyle, że te funkcje są ortogonalne (więc i niezależne) w przedziale o długości będącej całkowitą wielokrotnością \(\displaystyle{ 2\pi}\). Niekoniecznie na całej prostej.

[norwimaj]

Gdyby były liniowo zależne na całej prostej, to pewna ich kombinacja liniowa byłaby stale równa zero, więc na przedziale \(\displaystyle{ [0,2\pi]}\) też byłaby równa zero.

[szw1710]

OK. Tutaj mamy funkcje okresowe