Przestrzenie liniowe

[Mieszek]

1. a) Znajdź taką bazę \(\displaystyle{ \left(\alpha _{1}, \alpha _{2}, \alpha _{3}, \alpha _{4}\right)}\) przestrzeni \(\displaystyle{ R^{4}}\) by wektor \(\displaystyle{ \left(1, 2, 3, 4\right)}\) miał w niej współrzędne \(\displaystyle{ 1, 1, 1, 1}\) zaś wektor \(\displaystyle{ \left(1, 1, 1, 1\right)}\) miał w niej współrzędne \(\displaystyle{ 1, 2, 3, 4}\).
b) Niech \(\displaystyle{ \left( \alpha _{1}, \alpha _{2}\right) \subset R^{4}}\) będzie ciągiem liniowo niezależnym. Udowodnij, że istnieje baza \(\displaystyle{ \left(\alpha _{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)}\) przestrzeni \(\displaystyle{ R^{4}}\) taka, że wektor \(\displaystyle{ \left(1, 2, 3, 4\right)}\) ma w niej współrzędne \(\displaystyle{ 1, 1, 1, 1}\), zaś wektor \(\displaystyle{ \left(1, 1, 1, 1\right)}\) ma w niej współrzędne \(\displaystyle{ 1, 2, 3, 4}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ Lin\left\{\alpha _{1}, \alpha_{2}\right\} \cap Lin\left\{\left(1, 2, 3, 4\right), \left(1, 1, 1, 1\right)\right\}=\left\{0\right\}}\).
2. Niech \(\displaystyle{ w_{1}, w_{2}, ..., w_{t}}\) będą wektorami przestrzeni \(\displaystyle{ Q^{n} \subset C_{n}}\). Wykaż, że wektory te są liniowo niezależne nad \(\displaystyle{ Q}\) wtedy i tylko wtedy gdy są liniowo niezależne nad \(\displaystyle{ C}\). Wskazówka: Uzupełnić do bazy.
3. Niech \(\displaystyle{ V=Lin\left\{\left(1, 2, 3, 4\right),\left(2, 3, 4, 5\right), \left(3, 4, 5, 6\right), \left(1, 1, 2, 3\right)\right\} \subset R^{4}}\). Znajdź układ równań linowych opisujących \(\displaystyle{ V}\).

1. a) To jest?...
\(\displaystyle{ \left(1, 2, 3, 4\right)=1\alpha _{1} + 1\alpha_{2} + 1\alpha _{3} + 1\alpha _{4}}\)
\(\displaystyle{ \left(1, 1, 1, 1\right)=1\alpha _{1} + 2\alpha_{2} + 3\alpha _{3} + 4\alpha _{4}}\)
A dalej prosiłbym o głębsze wytłumaczenie, bo cienko mi idzie z takimi zadaniami...

@edit
Stanąłem tu na tym, że:
\(\displaystyle{ \alpha_{1}=\left(1, 2, 3, 4\right)-\left(0, -1, -2, -3\right)+3\alpha _{3}+4\alpha_{4}}\)
Pomocy

[robertm19]

To \(\displaystyle{ Lin\left\{\left(1, 2, 3, 4\right), \left(1, 1, 1, 1\right)\right\}=\left\{0\right\}}\) jest bez sensu. Te dwa wektory należą do otoczki liniowej, więc nie może się składać tylko z wektora zerowego.

[Mieszek]

O przepraszam, mój błąd, już poprawiam treść