Niech \(\displaystyle{ w_{1}, w_{2},..., w_{t}}\) będą wektorami przestrzeni \(\displaystyle{ \QQ^{n} \subset \CC ^{n}}\). Wykaż, że te wektory są liniowo niezależne nad \(\displaystyle{ \QQ}\) wtedy i tylko wtedy gdy są liniowo niezależne nad \(\displaystyle{ \CC}\).
Dowód:
\(\displaystyle{ " \Rightarrow "}\) Załóżmy, że wektory te są liniowo niezależne nad \(\displaystyle{ \QQ}\). Uzupełnijmy je do bazy.
Niech \(\displaystyle{ z_{i}= x_{i}+i y_{i} \in \CC}\) i \(\displaystyle{ z_{1} w_{1}+ z_{2} w_{2}+...+ z_{n} w_{n}=0}\)
\(\displaystyle{ ( x_{1}+i y_{1}) w_{1}+( x_{2}+i y_{2}) w_{2} +...+( x_{n}+i y_{n}) w_{n}=0}\)
\(\displaystyle{ ( x_{1} w_{1}+ x_{2} w_{2}+...+ x_{n} w_{n})+i( y_{1} w_{1}+ y_{2} w _{2}+...+ y_{n} w_{n})=0+i0}\)
\(\displaystyle{ x_{1} w_{1}+ x_{2} w_{2}+...+x_{n}w_{n}=0}\)
\(\displaystyle{ y_{1} w_{1}+ y_{2} w _{2}+...+ y_{n} w_{n}=0}\)
No więc te współczynniki są równe zero, bo \(\displaystyle{ w_{1}, w_{2}, ..., w_{n}}\) są liniowo niezależne. Dobrze rozumuje?
Dowód liniowa niezależność
-
LeoBolzano