Wektory przestrzeni liniowej

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
dziku127
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 23 lis 2013, o 22:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Wektory przestrzeni liniowej

Post autor: dziku127 »

Mam takie zadanie. Czy mógłby je ktoś rozwiązać lub podać jakąś wskazówkę?
Niech\(\displaystyle{ w _{1}}\), \(\displaystyle{ w _{2}}\) , ... ,\(\displaystyle{ w _{n}}\) będą wektorami przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{Q}^{n} \subset \mathbb{C}^{n}}\) . Wykaż, że wektory te są liniowo niezależne nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) wtedy i tylko wtedy, gdy są liniowo niezależne nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\).
Wiem, że może w tym pomóc uzupełnienie do bazy.
Z góry dziękuję
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Wektory przestrzeni liniowej

Post autor: Kartezjusz »

W jedną stronę jest oczywiste. Jako,że \(\displaystyle{ \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{C}}\) wynika,że jeżeli wektory są niezależne nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\), to tym bardziej nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\). Załóżmy, że nasze wektory są niezależne nad \(\displaystyle{ Q}\).
Załóżmy,że nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) są zależne. czyli dla pewnych skalarów zespolonych wśród których są niezerowe zachodzi
\(\displaystyle{ z_{i} ; i=1,2,3...,n}\)
\(\displaystyle{ 0=\sum_{i=1}^{n}z_{i}x= \sum_{i=1}^{n}(a_{i}+jb_{i})x_{i}= \sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}+j( \sum_{i=1}^{n}x_{i})}\)Zauważmy,że obie sumy mamy rzeczywiste z założenia,że \(\displaystyle{ x_{i} \in \mathbb{Q}}\) ,czyli obie muszą być równe zeru.
Dla ustalenia uwagi zajmiemy się \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}=0}\) Wszystkie \(\displaystyle{ a_{i}}\) muzą być wymierne, bo możemy wyznaczyć najpierw z tej równości \(\displaystyle{ x_{1}}\), czyli suma iloczynów \(\displaystyle{ \sum_{i=2}^{n}x_{i}a_{i}(1)x_{i} =q_{1}}\) musiałyby być wymierna. Wyznaczamy z tej nierówności \(\displaystyle{ x_{2}}\). Czyli okazuje się po kilku takich operacjach, że \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest wymierne i indukcyjnie. Wszystkie \(\displaystyle{ a_{i}}\) są wymierne, ale mamy niezależność nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\), czyli wszystkie \(\displaystyle{ a_{i}}\) muszą być zerami. Dowód analogiczny do \(\displaystyle{ b_{i}}\)
dziku127
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 23 lis 2013, o 22:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Wektory przestrzeni liniowej

Post autor: dziku127 »

Dzięki
ODPOWIEDZ