Podprzestrzeń liniowa

[jagielloma]

Mam za zadanie sprawdzić, czy zbiór \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\).

\(\displaystyle{ W=\{ (x,y,z,t)\in \mathbb{R}^{4}:\quad x-y=z-t\}}\)

Więc sprawdzam z warunku na podprzestrzeń, a mianowicie:

\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{u,w\in W} u+w \in W}\)

\(\displaystyle{ u+w=(x_{1},y_{1},z_{1},t_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2},t_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2},t_{1}+t_{2})}\)

Ale czy przypadkiem po dodaniu nie powinno to być w postaci \(\displaystyle{ x-y=z-t}\)?

[yorgin]

Nie. Po dodaniu dostajesz nowy wektor, który powinien spełniać warunek opisujący przestrzeń \(\displaystyle{ W}\).

[jagielloma]

Zatem to co mi wyszło po dodaniu jest dobrze. I to świadczy, że pierwszy warunek na bycie podprzestrzenią został spełniony?

[yorgin]

Nie świadczy, bo niczego nie pokazałeś. Napisałeś tylko sumę dwóch wektorów jako wektor sumy współrzędnych i nic poza tym.

[jagielloma]

Zatem prosiłbym o jakąś wskazówkę co dalej z tym zrobić, aby dokończyć polecenie.

[yorgin]

Sprawdzić, czy spełniony jest warunek dla przestrzeni \(\displaystyle{ W}\). Czyli czy odpowiednie różnice są spełnione.