aksjomat przestrzeni liniowych, pytanie.

[matematyka464]

Cześć,
Mamy, aksjomat dla przestrzeni liniowych, że dla każdego wektora z przestrzeni istnieje element przecwiny względem dodawania
Niech \(\displaystyle{ a, b}\) będą wektorami. Wtedy \(\displaystyle{ a + b = 0}\)
Zatem \(\displaystyle{ b = -a}\). Zatem \(\displaystyle{ b}\) to \(\displaystyle{ a}\)pomnożone przez skalar \(\displaystyle{ -1}\). Wynika stąd, że do każdego ciała nad przestrzenią liniowa należy p\(\displaystyle{ -1}\).
Tak samo z innego aksjomatu ( o elemencie neutralnym dla mnożenia ) wynikać będzie że każde ciało nad przestrzenią posiada \(\displaystyle{ 1}\).
Czy to w takim razie prawda, że każde ciało posiada \(\displaystyle{ -1, 1}\)?
Jeśli nie, to jak to się ma do tego co wcześniej napisałem.

2. Żeby wektor był kombinacją liniową to wg definicji wektor = wektor1 * skalar1 + ...+ wektor 2 * skalar 2.
Teraz tak:
Zatem czy żeby wektor był kombinacją liniową to musi on być kombinacją WSZYSTKICH pozostałych?
Rozumiem, że każdy wektor musi być pomnożony przez skalar ( skalar oczywiście w szczególności może być równy 1) ale czy dla każdego wektora każdy skalar musi mieć inną wartość?

[yorgin]

Cześć,
Mamy, aksjomat dla przestrzeni liniowych, że dla każdego wektora z przestrzeni istnieje element przecwiny względem dodawania
Niech \(\displaystyle{ a, b}\) będą wektorami. Wtedy \(\displaystyle{ a + b = 0}\)
Zatem \(\displaystyle{ b = -a}\). Zatem \(\displaystyle{ b}\) to \(\displaystyle{ a}\)pomnożone przez skalar \(\displaystyle{ -1}\). Wynika stąd, że do każdego ciała nad przestrzenią liniowa należy p\(\displaystyle{ -1}\).
Tak samo z innego aksjomatu ( o elemencie neutralnym dla mnożenia ) wynikać będzie że każde ciało nad przestrzenią posiada \(\displaystyle{ 1}\).
Czy to w takim razie prawda, że każde ciało posiada \(\displaystyle{ -1, 1}\)?
Jeśli nie, to jak to się ma do tego co wcześniej napisałem.

Element przeciwny zwykle oznacza się tak, jak napisałeś, czyli \(\displaystyle{ b=-a}\). Ale wcale to nie musi oznaczać, że jak \(\displaystyle{ a}\) jest dodatnie, to \(\displaystyle{ b}\) jest ujemne. Weź dla przykładu ciało liczb modulo \(\displaystyle{ \ZZ_7}\). Elementem przeciwnym względem dodawania do \(\displaystyle{ 1}\) jest \(\displaystyle{ 6}\), gdyż \(\displaystyle{ 1+6=0 \mod 7}\).

Mam rozumieć dalej, że \(\displaystyle{ -1}\) to ma być element przeciwny do \(\displaystyle{ 1}\)? Wtedy \(\displaystyle{ -1=6 \mod 7}\).

2. Żeby wektor był kombinacją liniową to wg definicji wektor = wektor1 * skalar1 + ...+ wektor 2 * skalar 2.
Teraz tak:
Zatem czy żeby wektor był kombinacją liniową to musi on być kombinacją WSZYSTKICH pozostałych?
Rozumiem, że każdy wektor musi być pomnożony przez skalar ( skalar oczywiście w szczególności może być równy 1) ale czy dla każdego wektora każdy skalar musi mieć inną wartość?

Średnio Ci ta definicja wyszła. Wektor \(\displaystyle{ x}\) jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ y_1,\ldots, y_n}\) gdy dla pewnych skalarów \(\displaystyle{ a_1,\ldots, a_n}\) mamy \(\displaystyle{ x=a_1y_1+\ldots+a_ny_n}\). Skalary mogą być zerami, mogą wszystkie być niezerowe, mogą być różne.. \(\displaystyle{ y_1,\ldots, y_n}\) nie muszą być wszystkimi wektorami z przestrzeni, wystarczy, że są wybrane z bazy.

[matematyka464]

Element przeciwny zwykle oznacza się tak, jak napisałeś, czyli\(\displaystyle{ b=-a.}\)Ale wcale to nie musi oznaczać, że jak a jest dodatnie, to b jest ujemne. Weź dla przykładu ciało liczb \(\displaystyle{ modulo \ZZ_7}\)Elementem przeciwnym względem dodawania do 1 jest 6, gdyż \(\displaystyle{ 1+6=0 \mod 7.}\)

Ok, zgodzę się z tym. Ale ja szukam elementu przeciwnego nie do elementu z ciała, tylko do wektora z przestrzeni liniowej.
W tym wypadku wydaje mi się, że jeżeli mamy wektor \(\displaystyle{ v}\) o dodatnich elementach to jedynym wektorem, który po dodaniu do \(\displaystyle{ v}\) da element neutralny musi być wektorem o elementach odpowiednio przeciwnych, bo wtedy po zsumowaniu dostaniemy oczekiwany wektor zerowy. Możemy zatem powiedzieć, że dla wektora \(\displaystyle{ v}\) przeciwny to \(\displaystyle{ w = (-1) \cdot v}\).
I stąd widać, że w takim razie jest \(\displaystyle{ -1}\) w ciele,.

[Kartezjusz]

Chodzi ci o fakt postaci \(\displaystyle{ -v= (-1) \cdot v}\)?
Jeśli tak, to masz rację. Dla braku nieporozumień. Zero przestrzeni oznaczmy przez \(\displaystyle{ 0_{V}}\) w odróżnieniu od zera z ciała. Dla \(\displaystyle{ v= 0_{V}}\)
\(\displaystyle{ 0_{V}=0 \cdot v = (1+(-1))v=v+(-1)v}\)ale w przestrzeni liniowej element przeciwny znajdziemy
dokładnie jeden ( przestrzeń liniowa z działaniami tworzy aksjomatycznie grupę) zatem mamty tezę.

[matematyka464]

Ok, czyli \(\displaystyle{ -1}\) należy do każdego ciała, nad którym jest przestrzeń?
Teraz zadanie:
Wykaż liniową niezależność układu funkcji \(\displaystyle{ 1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x,..., \cos nx \sin nx}\)
będę chciał indukcją, tylko na razie nie oczywiste jest, że dla n= 1 zachodzi...

[norwimaj]

\(\displaystyle{ b = -a}\). Zatem \(\displaystyle{ b}\) to \(\displaystyle{ a}\)pomnożone przez skalar \(\displaystyle{ -1}\).

Tego wynikania nie rozumiem.

Wynika stąd, że do każdego ciała nad przestrzenią liniowa należy p\(\displaystyle{ -1}\).

Tutaj pomyliłeś górę z dołem. Ciało nie jest nad przestrzenią liniową.

Czy to w takim razie prawda, że każde ciało posiada \(\displaystyle{ -1, 1}\)?

Każde ciało posiada swoją jedynkę. Ponadto, dla każdego elementu ciała istnieje element przeciwny, więc w każdym ciele istnieje \(\displaystyle{ -1}\).

Wykaż liniową niezależność układu funkcji 1\(\displaystyle{ , cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,..., cos nx sin nx}\)

Wykaż, że \(\displaystyle{ \int_0^{2\pi}f(x)g(x)\dd x=0}\) dla różnych \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) z podanego zbioru. Z tego łatwo wyniknie liniowa niezależność.

[yorgin]

Ok, zgodzę się z tym. Ale ja szukam elementu przeciwnego nie do elementu z ciała, tylko do wektora z przestrzeni liniowej.
W tym wypadku wydaje mi się, że jeżeli mamy wektor \(\displaystyle{ v}\) o dodatnich elementach to jedynym wektorem, który po dodaniu do \(\displaystyle{ v}\) da element neutralny musi być wektorem o elementach odpowiednio przeciwnych, bo wtedy po zsumowaniu dostaniemy oczekiwany wektor zerowy. Możemy zatem powiedzieć, że dla wektora \(\displaystyle{ v}\) przeciwny to \(\displaystyle{ w = (-1) \cdot v}\).
I stąd widać, że w takim razie jest \(\displaystyle{ -1}\) w ciele,.

Niech będzie zatem przestrzeń wektorowa nad ciałem \(\displaystyle{ \ZZ_7}\). Podaj mi wektor przeciwny do wektora \(\displaystyle{ v}\) używając skalarów z ciała \(\displaystyle{ \ZZ_7}\).

Ok, czyli \(\displaystyle{ -1}\) należy do każdego ciała, nad którym jest przestrzeń?

Nie. Z powodów, które wymieniłem wyżej. Elementem przeciwnym do \(\displaystyle{ 1}\) w grupie addytywnej ciała nie musi być \(\displaystyle{ -1}\).

[norwimaj]

Elementem przeciwnym do \(\displaystyle{ 1}\) w grupie addytywnej ciała nie musi być \(\displaystyle{ -1}\).

Standardowym oznaczeniem na element przeciwny do \(\displaystyle{ x}\) w ciele jest \(\displaystyle{ -x}\). Element przeciwny do \(\displaystyle{ 1}\) oznaczamy więc przez \(\displaystyle{ -1}\).-- 27 lis 2013, o 21:10 --

Element przeciwny zwykle oznacza się tak, jak napisałeś, czyli \(\displaystyle{ b=-a}\). Ale wcale to nie musi oznaczać, że jak \(\displaystyle{ a}\) jest dodatnie, to \(\displaystyle{ b}\) jest ujemne. Weź dla przykładu ciało liczb modulo \(\displaystyle{ \ZZ_7}\).

W \(\displaystyle{ \ZZ_7}\) nie ma porządku, więc nie jest ono kontrprzykładem na stwierdzenie: "jak \(\displaystyle{ a}\) jest dodatnie, to \(\displaystyle{ b}\) jest ujemne".

[yorgin]

Standardowym oznaczeniem na element przeciwny do \(\displaystyle{ x}\) w ciele jest \(\displaystyle{ -x}\). Element przeciwny do \(\displaystyle{ 1}\) oznaczamy więc przez \(\displaystyle{ -1}\).

Wiem, że takie są oznaczenia standardowe. Ale trudno szukać liczb ujemnych w ciałach złożonych na przykład tylko z liczb dodatnich. Dodatkowo sądzę, że pytanie nie było o to, czy element przeciwny oznaczany \(\displaystyle{ -1}\) należy do ciała, ale czy liczba \(\displaystyle{ -1}\) należy do ciała.

W \(\displaystyle{ \ZZ_7}\) nie ma porządku, więc nie jest ono kontrprzykładem na stwierdzenie: "jak \(\displaystyle{ a}\) jest dodatnie, to \(\displaystyle{ b}\) jest ujemne".

Nie podaję kontrprzykładu. Chodzi o traktowanie \(\displaystyle{ \ZZ_7}\) nie jako zbioru klas, gdzie mogę sobie szastać reprezentantami do woli, ale jako strukturę algebraiczną złożoną z liczb \(\displaystyle{ Z_7=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}}\) wraz z działaniami dodawania i mnożenia modulo \(\displaystyle{ 7}\), które można opisać odpowiednią tabelką tak, by wartości wszystkich działań były elementami wymienionego przeze mnie zbioru. Ja zwykłem odróżniać te dwa podejścia i redukować wyniki działań w skończonych ciałach do możliwie prostej postaci, gdy podaję końcowe rozwiązanie jakiegoś zadania. Bo przecież napisanie, że \(\displaystyle{ 2+2=-3}\) z jednej strony jest poprawne, gdyż kongruencja modulo \(\displaystyle{ 7}\) zachodzi, ale z drugiej strony, \(\displaystyle{ 2+2=4}\) jest rozwiązaniem naturalnym dającym wynik ze zbioru \(\displaystyle{ Z_7}\).

[norwimaj]

Ale trudno szukać liczb ujemnych w ciałach złożonych na przykład tylko z liczb dodatnich.

Trudno mówić o liczbach ujemnych i dodatnich w ciele nieuporządkowanym.

Dodatkowo sądzę, że pytanie nie było o to, czy element przeciwny oznaczany \(\displaystyle{ -1}\) należy do ciała, ale czy liczba \(\displaystyle{ -1}\) należy do ciała.

To może warto jeszcze sprecyzować, czy chodzi o liczbę całkowitą \(\displaystyle{ -1}\), liczbę wymierną \(\displaystyle{ -1}\), czy liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ -1}\). A jeśli rzeczywistą, to taką z konstrukcji Dirichleta czy Weierstrassa?

Zauważ też, że nie do każdego ciała należy \(\displaystyle{ 1}\). Wszak istnieje ciało trójelementowe \(\displaystyle{ \{\mathrm{papier}, \mathrm{kamień},\mathrm{nożyczki}\}}\) z działaniami zdefiniowanymi za pomocą odpowiednich tabelek. Żaden z tych trzech elementów nie wygląda, jakby był liczbą \(\displaystyle{ 1}\).

[yorgin]

Trudno mówić o liczbach ujemnych i dodatnich w ciele nieuporządkowanym.

Co to ma do rzeczy do mojego przykładu? Ja mówię o ciałach zawierających tylko dodatnie liczby, a Ty wprowadzasz zamęt w postaci liczb ujemnych i ciał nieuporządkowanych. Wiem, że \(\displaystyle{ \ZZ_7}\) jest ciałem nieuporządkowanym.

To może warto jeszcze sprecyzować, czy chodzi o liczbę całkowitą \(\displaystyle{ -1}\), liczbę wymierną \(\displaystyle{ -1}\), czy liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ -1}\). A jeśli rzeczywistą, to taką z konstrukcji Dirichleta czy Weierstrassa?

Jeżeli masz podane Ciało, to chyba wiesz, czy jest jedynka tego ciała? Tak samo wiesz, czym jest liczba do niej przeciwna? Czy może będziesz się bawić w kotka i myszkę próbując mówić osobom, które dopiero co się uczą, że \(\displaystyle{ -1}\) jest zespoloną liczbą będącą elementem przeciwnym do \(\displaystyle{ 1}\) w grupie \(\displaystyle{ (\ZZ,+)}\)? Poza tym powinieneś doskonale wiedzieć, że konstrukcje liczb rzeczywistych nie ma tu nic do rzeczy, gdyż prowadzą one do identycznych (z dokładnością do izomorfizmu) struktur algebraicznych.

Zauważ też, że nie do każdego ciała należy \(\displaystyle{ 1}\). Wszak istnieje ciało trójelementowe \(\displaystyle{ \{\mathrm{papier}, \mathrm{kamień},\mathrm{nożyczki}\}}\) z działaniami zdefiniowanymi za pomocą odpowiednich tabelek. Żaden z tych trzech elementów nie wygląda, jakby był liczbą \(\displaystyle{ 1}\).

Liczba \(\displaystyle{ 1}\) nie. Ale zauważ, że ja wyżej wspominałem nie o liczbie \(\displaystyle{ -1}\), tylko o elemencie przeciwnym do jedynki ciała (oznaczanym zwyczajowo niestety \(\displaystyle{ -1}\)). Tak samo można mówić o jedynce ciała nie jako o liczbie, ale elemencie spełniającym doskonale znane Ci aksjomaty. Równie dobrze mogę wszędzie wyżej pisać \(\displaystyle{ 1_K}\) oraz \(\displaystyle{ 0_K}\) mając na myśli elementy neutralne działań \(\displaystyle{ \overline{\cdot}}\) oraz \(\displaystyle{ \overline{+}}\) zdefiniowanych nawet na Twoim przykładzie.

Kończę ten dialog -nie widzę nic, co można by mi przekazać, gdyż to nie mnie jest potrzebne tłumaczenie rzeczy, które znam, rozumiem, odróżniam i potrafię z sukcesem stosować bez błędów logicznych.

[norwimaj]

Elementem przeciwnym do \(\displaystyle{ 1}\) w grupie addytywnej ciała nie musi być \(\displaystyle{ -1}\).

Nadal nie jestem w stanie tego zrozumieć. Symbolem \(\displaystyle{ 1}\) oznaczasz jedynkę ciała, a symbolem \(\displaystyle{ -1}\) jakiś konkretny obiekt niezależny od rozpatrywanego ciała, ale nie chcesz sprecyzować, o jaki obiekt chodzi? Na dodatek twierdzisz że wprowadzam zamęt

[matematyka464]

norwimaj, ja wyjaśnię
Oczywiście masz rację, symbolem \(\displaystyle{ 1}\) oznaczamy jedynkę ciała, a symbolem \(\displaystyle{ -1}\) element przeciwny do \(\displaystyle{ 1}\) względem dodawania. Z tą minus jedynką chodziło o to, że ja pytałem czy \(\displaystyle{ -1}\) ( jako zwykły obiekt, zwykła liczba ujemna) musi być w każdym ciele nad którym zawieszona jest przestrzeń.

Wracając, ten symbol jedynki to tylko symbol, w istocie możemy pisać, że\(\displaystyle{ 1 = 5}\), jeżeli pięć jest elementem neutralnym. Np. mnie to na początku bardzo zmylało, ale coraz mniej.
Aha, ja nie jestem żadnym autorytetem, ale myślę, że uchwyciłem bieg rozmowy

Niech będzie zatem przestrzeń wektorowa nad ciałem\(\displaystyle{ \ZZ_7}\). Podaj mi wektor przeciwny do wektora v używając skalarów z ciała \(\displaystyle{ \ZZ_7.}\)

yorgin, no właśnie o to chodzi. Podam Ci nawet konkretny przykład
Masz wektor w przestrzeni liniowej v = [1,2,3]. Z aksjomatów wiesz, że do tej przestrzeni należy też wektor zerowy. Wiesz też, że dla każdego wektora masz przeciwny względem dodawania.
Daję Ci ciało, nad którym jest przestrzeń: \(\displaystyle{ \ZZ_7}\)

[norwimaj]

Z tą minus jedynką chodziło o to, że ja pytałem czy \(\displaystyle{ -1}\) ( jako zwykły obiekt, zwykła liczba ujemna) musi być w każdym ciele nad którym zawieszona jest przestrzeń.

W takim razie przepraszam za wprowadzenie zamętu. Jednak to ja nie rozumiałem pytania.-- 27 lis 2013, o 23:50 --

W tym wypadku wydaje mi się, że jeżeli mamy wektor \(\displaystyle{ v}\) o dodatnich elementach to jedynym wektorem, który po dodaniu do \(\displaystyle{ v}\) da element neutralny musi być wektorem o elementach odpowiednio przeciwnych, bo wtedy po zsumowaniu dostaniemy oczekiwany wektor zerowy.

To rozumowanie ma słaby punkt. Skąd wiesz, że wektor ma jakieś współrzędne? Przestrzeń liniowa to dowolny zbiór spełniający aksjomaty przestrzeni liniowej. A priori nie wiadomo, czy jej elementy (wektory) muszą wyglądać mniej więcej tak: \(\displaystyle{ [2,5,3]}\). Równie dobrze mogą to być na przykład komary, pod warunkiem, że odpowiednio określimy działanie dodawania komarów i mnożenia komara przez skalar.

Ja nadal obstaję przy tym, że istnienie elementu przeciwnego do jedynki w ciele wynika z aksjomatów ciała, a nie z tego, że możemy nad tym ciałem stworzyć jakąś przestrzeń liniową.