Macierz A do potęgi n

[matiko]

Mam obliczyć macierz \(\displaystyle{ A^n}\) dla macierzy \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}&0\\2&\frac{1}{2}\end{array}\right]}\)

Korzystam z tego że \(\displaystyle{ A=P \cdot J \cdot P^{-1}}\) wiec \(\displaystyle{ A^n=P\cdot J^n \cdot P^{-1}}\)

Mój problem polega na tym że mam macierz która ma podwójną wartość własną \(\displaystyle{ \lambda_{1,2}=\frac{1}{2}}\) Przy pojedynczych wartościach własnych \(\displaystyle{ J^n}\) wygląda tak jak \(\displaystyle{ J}\) tylko że elementy na przekątnej są podniesione do potęgi \(\displaystyle{ n}\). Ale jak podnieść do potęgi \(\displaystyle{ n}\) macierz Jordana która wygląda tak jak u mnie czyli \(\displaystyle{ J=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}&1\\0&\frac{1}{2}\end{array}\right]}\)

[bartek118]

Podnieś sobie kilka potęg i zobaczysz, że dobrze się to zachowuje.

[matiko]

Ale macierz A czy J ? Na zajęciach miałem podany ten wzór z \(\displaystyle{ A^n=P\cdot J^n \cdot P^{-1}}\) wiec myślę że trzeba go do tego użyć. Czy nie ma jakiegoś wzoru dla podwójnej wartości własnej takiego jaki jest dla pojedynczych?

[Gouranga]

wymnóż ręcznie \(\displaystyle{ J\cdot J}\) kilka razy i zobaczysz, że to nie problem, że jest podwójna

[matiko]

Co mam z tego wywnioskować ? Jaka jest ta macierz \(\displaystyle{ J^n}\) ?

[Gouranga]

widać, że na głównej przekątnej te wyrazy po prostu podnosisz do potęgi n, pytanie co z tym wyrazem po prawej u góry

[matiko]

Tak jak pisałem w pierwszym poście tak właśnie jest dla macierzy która ma pojedyncze wartości własne czyli tym samym nie ma tej jedynki na górze po prawej, \(\displaystyle{ J^n}\) to \(\displaystyle{ J}\) z podniesionymi elementami (wartościami własnymi) na przekątnej do n. Wiem że tak jest według wzoru. W tym przypadku nie wiem jak to ma być. Czy nie ma po prostu jakiegoś wzoru na \(\displaystyle{ J^n}\) dla macierzy z tą jedynką takiego jak jest dla tej bez jedynki ?

[Kartezjusz]

Zobacz , czy macierz utworzona przez wektory własne nie machnęła Ci się z macierzą utworzoną przez wartości ( diagonalizacja)

[matiko]

\(\displaystyle{ P=\left[
\begin{array}{cc}
0 & \frac{1}{2}\\
1 & 1
\end{array}
\right]
\qquad
J= \left[
\begin{array}{cc}
\frac{1}{2} & 1\\
0 & \frac{1}{2}
\end{array}
\right] \qquad
P^{-1}= \left[
\begin{array}{cc}
-2 & 1\\
2 & 0
\end{array}
\right]
\qquad}\)
\(\displaystyle{ A=P \cdot J \cdot P^{-1}}\)

[Kartezjusz]

Policz ręcznie, bo ci program zaokrągla wartości utrudniając wnioskowanie.

[matiko]

Z tego wynika że ten element na górze po prawej ma postać \(\displaystyle{ \frac{2 \cdot n}{2^n}}\)
Wiec \(\displaystyle{ J^n=\left[
\begin{array}{cc}
(\frac{1}{2})^n & \frac{2 \cdot n}{2^n} \\
0 & (\frac{1}{2})^n
\end{array}
\right]}\)

Czyli rozumiem że nie ma ogólnego wzoru ? Każdy przypadek dla podwójnej wartości własnej trzeba rozpatrywać osobno ?

[Kartezjusz]

Myślę,że tak. Rozważ sobie dowolną macierz o podwójnej własności własnej. W przypadku \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) możesz równanie na wartości własne przerobić na równanie kwadratowe i rozważyć delty. Otrzymasz relację między śladem ,a wyznacznikiem macierzy, który pozwoli rozpoznawać takie macierze.

[brzoskwinka1]

Udowodnij przez indukcję, że \(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{cc}
a & b \\
0 & a
\end{array}
\right]^n =\left[\begin{array}{cc}
a^n & na^{n-1} b \\
0 & a^n
\end{array}\right] .}\)

[bartek118]

Myślę,że tak. Rozważ sobie dowolną macierz o podwójnej własności własnej. W przypadku \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) możesz równanie na wartości własne przerobić na równanie kwadratowe i rozważyć delty. Otrzymasz relację między śladem ,a wyznacznikiem macierzy, który pozwoli rozpoznawać takie macierze.

Nieprawda. Oczywiste, że jest jawny wzór na podnoszenie macierzy Jordana do potęg.
Proszę: ... powers.pdf