Dowód z wymiarem przestrzeni

[LeoBolzano]

Mam problem z tym zadaniem:
Niech \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ W}\) będą skończenie wymiarowymi podprzestrzeniami przestrzenie liniowej \(\displaystyle{ V}\) (nad ciałem \(\displaystyle{ K}\) takimi, że:

\(\displaystyle{ \dim (U+W)= \dim (U \cap W)+1.}\)

Udowodnić, że \(\displaystyle{ U+W= U\cup W}\).

Inkluzja \(\displaystyle{ \supseteq}\) jest właściwie oczywista, bo \(\displaystyle{ U \cup W \subseteq lin(U \cup W)=U+W}\). Ale nie wiem za bardzo co mogę zrobić w drugą stronę. Podrzuci ktoś jakiś pomysł?

[brzoskwinka1]

Gdyby \(\displaystyle{ \mbox{dim} (U \cap V) <\min\{\mbox{dim} U , \mbox{dim}V\}.}\)
To

\(\displaystyle{ \mbox{dim} (U+V ) =\mbox{dim} U +\mbox{dim} V -\mbox{dim}(U \cap V) \ge (\mbox{dim}(U \cap V) +1)+\\ +(\mbox{dim}(U \cap V) +1) -\mbox{dim}(U \cap V) =\mbox{dim}(U \cap V) +2 .}\)

Zatem \(\displaystyle{ \mbox{dim} (U \cap V) =\min\{\mbox{dim} U , \mbox{dim}V\}.}\)

[LeoBolzano]

\(\displaystyle{ \mbox{dim} (U \cap V) =\min\{\mbox{dim} U , \mbox{dim}V\}.}\)

Brzoskwino, o ile wszystkie te przejścia w nierównościach rozumiem, to nie bardzo wiem, z czym to co otrzymałaś jest sprzeczne i też nie wiem jak z tego, że \(\displaystyle{ \dim (U \cap V)=min(\dim U, \dim V)}\) wynika to, że \(\displaystyle{ U+W= U \cup W}\). Możesz mi to jakoś wyjaśnić?-- 24 lis 2013, o 20:27 --Chyba już rozumiem (wydaje mi się, że pomyliłaś w tym dowodzie \(\displaystyle{ V}\) z \(\displaystyle{ W}\). Więc udowodniłaś, że \(\displaystyle{ U \subseteq W}\) lub \(\displaystyle{ W \subseteq U}\). Więc z tego wiadomo, że \(\displaystyle{ U \cup W}\) też jest podprzestrzenią. Dobrze rozumiem?

[brzoskwinka1]

Chyba już rozumiem (wydaje mi się, że pomyliłaś w tym dowodzie \(\displaystyle{ V}\) z \(\displaystyle{ W}\). Więc udowodniłaś, że \(\displaystyle{ U \subseteq W}\) lub \(\displaystyle{ W \subseteq U}\). Więc z tego wiadomo, że \(\displaystyle{ U \cup W}\) też jest podprzestrzenią. Dobrze rozumiem?

Tak.

[LeoBolzano]

Dzięki za odpowiedź!