dowód na macierzy

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
matematyka464
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 3 lis 2013, o 12:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 208 razy
Pomógł: 1 raz

dowód na macierzy

Post autor: matematyka464 »

Cześć,
Jak się do tego zabrać? Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \det \left[\begin{array}{cccc}1&1& \ldots &1 \\ x_1&x_2& \ldots & x_n \\x_1^2 & x_2^2 & \ldots &x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} &x_2^{n-1} & \ldots & x_n^{n-1} \end {array}\right] = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j-x_i)}\)
Awatar użytkownika
smigol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

dowód na macierzy

Post autor: smigol »

Wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ n \times n}\) jest wielomianem \(\displaystyle{ n-}\)tego stopnia. Zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ x_1=x_2}\), to...
szw1710

dowód na macierzy

Post autor: szw1710 »

Jest to wyznacznik Vandermonde'a. Najpierw rozpisz sobie dla \(\displaystyle{ n=2}\) oraz \(\displaystyle{ n=3}\). Tak żeby zobaczyć i ewentualnie wystartować z indukcją. W kroku indukcyjnym odpowiednio dobrane rozwinięcie Laplace'a. Najlepiej wg ostatniego wiersza - to da Ci sumę \(\displaystyle{ n}\) wyznaczników Vandermonde'a. Potem patrząc na to co ma wyjść, zwiń to do właściwej postaci.

Najpierw proponuję znając \(\displaystyle{ V(x_1,x_2,x_3)=(x_3-x_2)(x_3-x_1)(x_2-x_1)}\) policzyć \(\displaystyle{ V(x_1,x_2,x_3,x_4)}\) za pomocą tego rozwinięcia.

Nie trzeba być filozofem zauważąjąc, że \(\displaystyle{ V(x_1,x_2,\dots,x_n}\) oznacza wyznacznik Vandermonde'a, który występuje w treści zadania.
matematyka464
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 459
Rejestracja: 3 lis 2013, o 12:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 208 razy
Pomógł: 1 raz

dowód na macierzy

Post autor: matematyka464 »

ok, wezmę się za to, tylko:
... V-WYZN.pdf
Na pierwszej stronie, własność iii)
I tu pisze, że jednak mnożenie wiersza przez skalar zmienia wartość wyznacznika.
Spotykam się też z zapisami, że mnożyć można sobie do wiwatu przez skalar i wartość wyznacznika pozostaje stała.
Taką samą mam wątpliwość przy zamienianiu kolumn miejscami. Tak samo dla wierszy.
Czy znajdzie się osoba, która mi powie, co jest ok?
Pozdrawiam! -- 24 lis 2013, o 17:50 --
smigol pisze:Wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ n \times n}\) jest wielomianem \(\displaystyle{ n-}\)tego stopnia. Zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ x_1=x_2}\), to...
Nie widzę tego
Możesz mi pokazać
Awatar użytkownika
smigol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

dowód na macierzy

Post autor: smigol »

Jeśli \(\displaystyle{ x_1=x_2}\) to mamy takie same kolumny, a zatem wyznacznik równy jest...
ODPOWIEDZ