przestrzeń ciągów o skończonym nośniku - uzasadnienie

[johnny1591]

Witam,

mam problem z takim zadaniem :

Uzasadnić, że
\(\displaystyle{ c_{00}=\mbox{lin} \{e_n : n \in \mathbb{N} \}}\), gdzie lewa strona to przestrzeń wszystkich ciągów o skończonym nośniku. Dlaczego \(\displaystyle{ \dim c_{00}= \aleph_{0}}\)?

Zadanie zacząłem od wypisania tego :

\(\displaystyle{ x \in c_{00} \Rightarrow x=(e_{j}) : x = \sum_{j=1}^n \alpha_{j} e_{j}}\), więc \(\displaystyle{ x}\) jest skończoną kombinacją liniową wektorów jednostkowych. Stąd \(\displaystyle{ x \in \mbox{lin}\{e_n : n \in \mathbb{N} \}}\).

Czy to jest dobry trop? I jak zrobić w drugą stronę, bo nie bardzo widzę to. Mam też problem z uzasadnieniem wymiaru. Prosze o pomoc.

[Spektralny]

Niech \(\displaystyle{ x=(x_n)_{n=1}^\infty}\) będzie ciągiem o skończonym nośniku, tj. \(\displaystyle{ x_n\neq 0}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ n\in F}\) z pewnego zbioru skończonego \(\displaystyle{ F}\). Możesz zapisać

\(\displaystyle{ x = \sum_{n\in F}x_n e_n.}\)

Jest też jasne, że zbiór \(\displaystyle{ \{e_n\colon n\in \mathbb{N}\}}\) jest liniowo niezależny, a więc jest bazą.