macierz symetrii osiowej

[agusiaczarna22]

Mam za zadanie: Podać macierz symetrii osiowej \(\displaystyle{ R^3 \rightarrow R^3}\) o płaszczyźnie symetrii \(\displaystyle{ x+y+z=2}\)

[norwimaj]

Zacznij od wzoru z macierzą \(\displaystyle{ 3\times3}\).

\(\displaystyle{ S\left(\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}\right)=
\begin{bmatrix}1&2&-1\\1&-1&2\\1&-1&-1\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}1&2&-1\\1&-1&2\\1&-1&-1\end{bmatrix}^{-1}\cdot
\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}}\)

[agusiaczarna22]

Zacznij od wzoru z macierzą \(\displaystyle{ 3\times3}\).

\(\displaystyle{ S\left(\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}\right)=
\begin{bmatrix}1&2&-1\\1&-1&2\\1&-1&-1\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}1&2&-1\\1&-1&2\\1&-1&-1\end{bmatrix}^{-1}\cdot
\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}}\)

i co mam dalej zrobić??


Skąd wzięło się to: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}\right)}\) i
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&2&-1\\1&-1&2\\1&-1&-1\end{bmatrix}\cdot}\) ?
oraz czemu jest tu -1 \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\cdot}\)?

[norwimaj]

Skąd wzięło się to: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}\right)}\)

To jest jakikolwiek punkt należący do płaszczyzny.

i
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&2&-1\\1&-1&2\\1&-1&-1\end{bmatrix}\cdot}\) ?

W pierwszej kolumnie masz wektor prostopadły do płaszczyzny. W pozostałych dwóch kolumnach wpisałem jakiekolwiek liniowo niezależne wektory leżące w płaszczyźnie. (czyli prostopadłe do wektora prostopadłego do płaszczyzny)

oraz czemu jest tu -1 \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\cdot}\)?

Symetria (prostopadła) względem płaszczyzny polega na tym, że współrzędną na osi prostopadłej do płaszczyzny zamieniamy na przeciwną.

[agusiaczarna22]

i teraz co robie mnoże każdą macierz??:)

[norwimaj]

Najpierw (albo później) możesz podstawić \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}\right}\) zamiast \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\), żeby otrzymać wzór na \(\displaystyle{ S\left(\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\right)}\). Potem pomnóż te macierze, ale wektora \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\) nie mnóż, tylko go zostaw.

[agusiaczarna22]

po pomnożeniu wychodzi mi
4 -1 -2
-5 -4 -2
-2 2 1
*
x
y
z
+ macierz 2,0,0
Nie wiem jak to w macierzach w tex się pisze dlatego piszę tak.

I co dalej mam zrobić? nie pomyliłam się w rachunkach?