Przestrzeń liniowa ciągów zbieżnych

[LeoBolzano]

W przestrzeni \(\displaystyle{ R^{ \infty }_{zb}}\) wszystkich ciągów zbieżnych o wyrazach rzeczywistych wskazać takie dwie różne podprzestrzenie \(\displaystyle{ W_{1} i W_{2}}\), że \(\displaystyle{ R^{ \infty } _{zb}= W_{1}\oplus R^{ \infty } _{0}= W_{2} \oplus R^{ \infty } _{0}}\), gdzie \(\displaystyle{ R^{ \infty } _{0}}\)oznacza podprzestrzeń ciągów zbieżnych do zera. Potrafiłby ktoś wyjaśnić mi, jak zrobić to zadanie?

Mam pomysł na pierwszą podprzestrzeń. Dobra będzie podprzestrzeń ciągów stałych. Każdy ciąg zbieżny jest sumą ciągu zbieżnego do zera i stałego na mocy twierdzenia: Ciąg \(\displaystyle{ x_{n}}\) zbiega do\(\displaystyle{ g \in \RR}\)\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)ciąg \(\displaystyle{ x_{n}-g}\) zbiega do zera. Jest to suma prosta, bo ciągiem jednocześnie stałym i zbieżnym do zera jest jedynie ciąg stale równy zero.

[Kartezjusz]

Możesz do poprzedniego przykładu dołożyć ciąg jakiś dowolny niestały i zrobić podprzestrzeń generowaną. Fajnie tylko, aby niewygenerować całej przestrzeni oraz ,żebyś nie dokładał ciągów zbieżnych do zera, bo dostaniesz nietrywialny przekrój.

[Zordon]

Możesz wziąć \(\displaystyle{ W_2=\{(0,a,a,a,a,...):a\in \RR\}}\)
Pomysł jw. z dodawaniem nie zadziała, bo już nie uzyskamy jednoznaczności.