Czy jeśli część wspólna dwóch przestrzeni wynosi 0 to czy ..

matinf · Post autor: **matinf** » 21 lis 2013, o 00:01

Czy jeśli wymiar części wspólnej dwóch przestrzeniu wynosi 0, to czy ich suma jest prosta?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 21 lis 2013, o 09:15

Niekoniecznie. Przynajmniej według mojej wiedzy suma prosta powinna dawać całą przestrzeń, w której sumujemy podprzestrzenie. Zerowe przecięcie to za mało.

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 21 lis 2013, o 10:09

Już w przestrzeni dwuwymiarowej stwierdzenie się sypie.
Rozważmy proste \(\displaystyle{ y=x}\) lub\(\displaystyle{ y=2x}\). Ich przecięcie jest trywialne, ale nie otrzymamy na przykład punktu \(\displaystyle{ (1,4)}\) jako elementu sumy prostej.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 21 lis 2013, o 10:13

Kartezjusz pisze:Już w przestrzeni dwuwymiarowej stwierdzenie się sypie.
Rozważmy proste \(\displaystyle{ y=x}\) lub\(\displaystyle{ y=2x}\). Ich przecięcie jest trywialne, ale nie otrzymamy na przykład punktu \(\displaystyle{ (1,4)}\) jako elementu sumy prostej.

Otrzymamy. Wektory generujące proste to \(\displaystyle{ (1,1)}\) oraz \(\displaystyle{ (1,2)}\) i są one liniowo niezależne, więc suma prosta będzie całym \(\displaystyle{ \RR^2}\). Dopiero w trzech wymiarach można podać nietrywialny przykład (wszystkie składniki różne od przestrzeni trywialnej).