Podzbiory przestrzeni wektorowej.

[1608]

Które z następujących podzbiorów przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ \RR[x]}\)(przestrzeń wielomianów nad ciałem \(\displaystyle{ \RR}\) są jej podprzestrzeniami:
a)\(\displaystyle{ A=\left\{ w:w(0)w(1)=0\right\}}\)
Niech \(\displaystyle{ g,h \in A}\)
\(\displaystyle{ g(0)g(1)+h(0)h(1)=0+0=0}\)
\(\displaystyle{ g(0 \cdot \alpha )g(1 \cdot \alpha ) = 0}\)dla\(\displaystyle{ \alpha \in \RR}\)
Jest podprzestrzenią.

b)\(\displaystyle{ \left\{ B={w:stopien \le 6}\right\}}\)
Niech \(\displaystyle{ g(x)}\) wielomianem stopnia 4.
Niech \(\displaystyle{ h(x)}\) wielomianem stopnia 5
\(\displaystyle{ h(x),g(x)\in B}\)
\(\displaystyle{ h(x)+g(x)=t(x)}\)
Stopień \(\displaystyle{ t(x) \le 6}\)
\(\displaystyle{ \alpha \cdot h(x)=j(x)}\)
Stopień \(\displaystyle{ j(x)}\) zawsze mniejszy lub równy 6 bez względu na przemnożenie przez jakiekolwiek \(\displaystyle{ \alpha\in\RR}\)
Jest podprzestrzenią

c)\(\displaystyle{ \left\{ C={w:stopien= 6}\right\}}\)
Kontrprzykład:
\(\displaystyle{ w(x)=x^6\inC}\)
\(\displaystyle{ g(x)=-x^6\inC}\)
\(\displaystyle{ g(x)+w(x)=t(x)=0}\)
\(\displaystyle{ t(x)}\) stopnia 0.
Nie jest podprzestrzenią

d)\(\displaystyle{ \left\{ D=w(x)}\) podzielne przez \(\displaystyle{ x^{2}+1 \right\}}\)
Niech\(\displaystyle{ g(x),h(x)\in\D}\)
\(\displaystyle{ g(x)+h(x)=q(x)}\)
Suma dwóch wielomianów podzielnych przez \(\displaystyle{ x^{2}+1}\) będzie zawsze podzielna.
Jakakolwiek funkcja podzielna przez \(\displaystyle{ x^{2}-1}\) pomnożona przez jakikolwiek skalara\(\displaystyle{ \alpha\in\RR}\) będzie również podzielna przez \(\displaystyle{ x^{2}-1}\)


Dobrze?

[brzoskwinka1]

a) Źle. Weź \(\displaystyle{ P(x) = x , Q(x) =x-1 ,}\) wówczas \(\displaystyle{ P,Q \in A}\) ale \(\displaystyle{ P+Q\notin A .}\)
b) Uzasadnienie masz złe.

[yorgin]

Które z następujących podzbiorów przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ \RR[x]}\)(przestrzeń wielomianów nad ciałem \(\displaystyle{ \RR}\) są jej podprzestrzeniami:
a)\(\displaystyle{ A=\left\{ w:w(0)w(1)=0\right\}}\)
Niech \(\displaystyle{ g,h \in A}\)
\(\displaystyle{ g(0)g(1)+h(0)h(1)=0+0=0}\)
\(\displaystyle{ g(0 \cdot \alpha )g(1 \cdot \alpha ) = 0}\)dla\(\displaystyle{ \alpha \in \RR}\)
Jest podprzestrzenią.

Źle rozpisany warunek na sumę. Źle rozpisany warunek na "skalar razy wektor".

b)\(\displaystyle{ \left\{ B={w:stopien \le 6}\right\}}\)
Niech \(\displaystyle{ g(x)}\) wielomianem stopnia 4.
Niech \(\displaystyle{ h(x)}\) wielomianem stopnia 5
\(\displaystyle{ h(x),g(x)\in B}\)
\(\displaystyle{ h(x)+g(x)=t(x)}\)
Stopień \(\displaystyle{ t(x) \le 6}\)
\(\displaystyle{ \alpha \cdot h(x)=j(x)}\)
Stopień \(\displaystyle{ j(x)}\) zawsze mniejszy lub równy 6 bez względu na przemnożenie przez jakiekolwiek \(\displaystyle{ \alpha\in\RR}\)
Jest podprzestrzenią

Uzasadnienie jest żadne. Niczego nie dowiodłeś.

c)\(\displaystyle{ \left\{ C={w:stopien= 6}\right\}}\)
Kontrprzykład:
\(\displaystyle{ w(x)=x^6\inC}\)
\(\displaystyle{ g(x)=-x^6\inC}\)
\(\displaystyle{ g(x)+w(x)=t(x)=0}\)
\(\displaystyle{ t(x)}\) stopnia 0.
Nie jest podprzestrzenią

Ok.

d)\(\displaystyle{ \left\{ D=w(x)}\) podzielne przez \(\displaystyle{ x^{2}+1 \right\}}\)
Niech\(\displaystyle{ g(x),h(x)\in\D}\)
\(\displaystyle{ g(x)+h(x)=q(x)}\)
Suma dwóch wielomianów podzielnych przez \(\displaystyle{ x^{2}+1}\) będzie zawsze podzielna.
Jakakolwiek funkcja podzielna przez \(\displaystyle{ x^{2}-1}\) pomnożona przez jakikolwiek skalara\(\displaystyle{ \alpha\in\RR}\) będzie również podzielna przez \(\displaystyle{ x^{2}-1}\)

Suma ok. Nie rozumiem ostatniego zdania. Co z zerem?

[1608]

Jak powinien wyglądać ten warunek sumę? Zamiast mnożyć \(\displaystyle{ g(0\cdot\alpha)g(1\cdot\alpha)}\) powinienem tak : \(\displaystyle{ \alpha\cdot g(0)g(1)}\) ?

Jak powinienem dowodzić b? Wydaje się to oczywiste i ciężko mi wymyślić sposób jak to dowieść.-- 20 lis 2013, o 22:08 --Zero jest podzielne przez każdą liczbę więc chyba ok ?