Wymiar przestrzeni

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
johnny1591
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 327
Rejestracja: 6 lis 2009, o 18:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 28 razy

Wymiar przestrzeni

Post autor: johnny1591 »

Witam,

otóż mam problem z poniższym zadaniem.

Wykazać, że wymiar \(\displaystyle{ C[0,1]=2^{\aleph_0}}\).

Pomysł jest taki, żeby wybrać jakiś zbiór funkcji z tej przestrzeni, taki, że wiemy że jest mocy \(\displaystyle{ 2^{\aleph_0}}\).
W ten sposób otrzymamy oszacowanie z dołu dotyczące mocy dla naszej przestrzeni. Nie mam pomysłu, jaki zbiór można by wybrać.
Awatar użytkownika
Spektralny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3976
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 929 razy

Wymiar przestrzeni

Post autor: Spektralny »

Dla każdego \(\displaystyle{ a\in (0,1)}\) niech \(\displaystyle{ f_a(x) = 1}\), gdy \(\displaystyle{ xin [0,a)}\) oraz wykres funkcji \(\displaystyle{ f_a}\) na przedziale \(\displaystyle{ [a,1]}\) to odcinek łączący punkty \(\displaystyle{ (a,1)}\) i \(\displaystyle{ (1,0)}\).

Pokaż że zbiór \(\displaystyle{ \{f_a\colon a\in (0,1)\}}\) jest liniowo niezależny.

Można pokazać ogólniejszy fakt: wymiar liniowy dowolnej nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha to co najmniej continuum. Sprytny dowód podał Lacey:

H.E. Lacey, The Hamel Dimension of any Infinite Dimensional Separable Banach Space is c, Amer. Math. Mon. 80 (1973), 298.
ODPOWIEDZ