Witam,
otóż mam problem z poniższym zadaniem.
Wykazać, że wymiar \(\displaystyle{ C[0,1]=2^{\aleph_0}}\).
Pomysł jest taki, żeby wybrać jakiś zbiór funkcji z tej przestrzeni, taki, że wiemy że jest mocy \(\displaystyle{ 2^{\aleph_0}}\).
W ten sposób otrzymamy oszacowanie z dołu dotyczące mocy dla naszej przestrzeni. Nie mam pomysłu, jaki zbiór można by wybrać.
Wymiar przestrzeni
-
- Użytkownik
- Posty: 327
- Rejestracja: 6 lis 2009, o 18:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 28 razy
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Wymiar przestrzeni
Dla każdego \(\displaystyle{ a\in (0,1)}\) niech \(\displaystyle{ f_a(x) = 1}\), gdy \(\displaystyle{ xin [0,a)}\) oraz wykres funkcji \(\displaystyle{ f_a}\) na przedziale \(\displaystyle{ [a,1]}\) to odcinek łączący punkty \(\displaystyle{ (a,1)}\) i \(\displaystyle{ (1,0)}\).
Pokaż że zbiór \(\displaystyle{ \{f_a\colon a\in (0,1)\}}\) jest liniowo niezależny.
Można pokazać ogólniejszy fakt: wymiar liniowy dowolnej nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha to co najmniej continuum. Sprytny dowód podał Lacey:
H.E. Lacey, The Hamel Dimension of any Infinite Dimensional Separable Banach Space is c, Amer. Math. Mon. 80 (1973), 298.
Pokaż że zbiór \(\displaystyle{ \{f_a\colon a\in (0,1)\}}\) jest liniowo niezależny.
Można pokazać ogólniejszy fakt: wymiar liniowy dowolnej nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha to co najmniej continuum. Sprytny dowód podał Lacey:
H.E. Lacey, The Hamel Dimension of any Infinite Dimensional Separable Banach Space is c, Amer. Math. Mon. 80 (1973), 298.