Wykazać, że układ nie jest bazą

[Bobi02]

Niech \(\displaystyle{ dimV=3}\) i załóżmy, że układ \(\displaystyle{ (v_1,v_2,v_3)}\) nie jest bazą \(\displaystyle{ V \ (v_1,v_2,v_3 \in V)}\). Wykazać, że wówczas układ :

\(\displaystyle{ (v_1+v_2,v_2+v_3,v_3+v_1)}\) też nie jest bazą.

[AiDi]

Nie jest bazą, tzn. że wektory są liniowo zależne. Musisz zatem wykazać, że te sumy są liniowo zależne, korzystając z tego, że zadany układ jest liniowo zależny.

[yorgin]

Załóżmy przeciwnie, układ jest \(\displaystyle{ (v_1+v_2,v_2+v_3,v_3+v_1)}\) jest bazą. Pokażemy, że \(\displaystyle{ (v_1,v_2,v_3)}\) jest wtedy zbiorem wektorów liniowo niezależnych. Istotnie, niech \(\displaystyle{ av_1+bv_2+cv_3=0}\). Wtedy

\(\displaystyle{ 0=av_1+bv_2+cv_3=\\
\\
=\left(\frac{a+b-c}{2}\right)(v_1+v_2)+\left(\frac{b+c-a}{2}\right)(v_2+v_3)+\left(\frac{a+c-b}{2}\right)(v_3+v_1)}\)

Stąd łatwo już dostać, że \(\displaystyle{ a=b=c=0}\).