Znaleźć wymiar podprzestrzeni

Bobi02 · Post autor: **Bobi02** » 20 lis 2013, o 16:34

Rozważmy \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) jako przestrzeń wektorową nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\). Jaki wymiar ma podprzestrzeń

\(\displaystyle{ W = lin(1, \sqrt{2},i, \sqrt{3})}\)? Uzasadnij odpowiedź.

Lorek · Post autor: **Lorek** » 21 lis 2013, o 00:34

Sprawdź, czy któryś z wektorów możesz otrzymać jako kombinację pozostałych.

Bobi02 · Post autor: **Bobi02** » 21 lis 2013, o 16:37

Jakaś wskazówka jak zacząć?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 21 lis 2013, o 18:34

Tak, weź jeden z wektorów i sprawdź, czy nie jest kombinacją liniową pozostałych.

Bobi02 · Post autor: **Bobi02** » 21 lis 2013, o 19:19

\(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ 1=-i^2}\) wygląda dobrze?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 21 lis 2013, o 19:20

A jak to się ma do rozwiązywania zadania czy też wskazówki podanej przez Loreka ?

Bobi02 · Post autor: **Bobi02** » 21 lis 2013, o 19:30

Nie wiem, widzę 4 wektory i mógłbym to zapisać, np. \(\displaystyle{ 1 = a\sqrt{2} +b i + c\sqrt{3}}\). Ale nie wiem co z tym zrobić.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 21 lis 2013, o 19:33

Jakimi liczbami są \(\displaystyle{ a, b, c}\) ? Czy można z tego wywnioskować, ze podana przez Ciebie kombinacja liniowa może dać liczbę \(\displaystyle{ 1}\) ?

Bobi02 · Post autor: **Bobi02** » 21 lis 2013, o 19:35

Tak, jeśli \(\displaystyle{ a=c=0\ b=-i}\)

Lorek · Post autor: **Lorek** » 21 lis 2013, o 21:37

Tak, tylko, że \(\displaystyle{ a,b,c}\) muszą być wymierne.

Bobi02 · Post autor: **Bobi02** » 21 lis 2013, o 21:44

Czyli są liniowo niezależne i wymiar jest równy 4