pzrekrój dwóch przestrzeni

[matinf]

\(\displaystyle{ \vec{x} = \begin{bmatrix}
1\\
2\\
-1\\
-1
\end{bmatrix}
\\
\vec{y} = \begin{bmatrix}
2\\
-2\\
5\\
2
\end{bmatrix}
\\
\vec{z} = \begin{bmatrix}
-1\\
10\\
8\\
-7
\end{bmatrix}}\)

Jak wyznaczyć teraz:
\(\displaystyle{ span(x,y) \cap span(z)}\)
?? Bardzo proszę o dokadne wytłumaczenie

[Mistrz]

Są dwie możliwości. Albo \(\displaystyle{ z}\) leży w płaszczyźnie \(\displaystyle{ \hbox{span} (x,y)}\) i wtedy odpowiedzią jest \(\displaystyle{ \hbox{span} (x,y) \cap \hbox{span} (z) = \hbox{span} (z)}\), albo nie leży i wtedy odpowiedzią jest podprzestrzeń trywialna \(\displaystyle{ \{0\}}\). Jasne? To sprawdzamy, czy \(\displaystyle{ z\in \hbox{span} (x,y)}\). W tym celu bierzemy dowolny wektor z \(\displaystyle{ v \in\hbox{span} (x,y)}\). Jest on postaci \(\displaystyle{ v = a(1,2,-1,-1) + b(2,-2,5,2)}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{R}}\). Czy może być \(\displaystyle{ v=z}\), czyli \(\displaystyle{ (a+2b,2a-2b,-a+5b,-a+2b)=(-1,10,8,-7)}\)? Nie, gdyż układ równań \(\displaystyle{ (a+2b,2a-2b,-a+5b,-a+2b)=(-1,10,8,-7)}\) nie ma rozwiązań (przynajmniej mi wyszło, że nie ma). No to \(\displaystyle{ z \not\in \hbox{span} (x,y)}\), czyli \(\displaystyle{ \hbox{span} (x,y) \cap \hbox{span} (z) =\{0\}}\)

[matinf]

Nie, układ równań ma rozwiązanie, gdy \(\displaystyle{ a = 13.}\)

Dodaj do siebie ostatni i pierwszy, wyjdzie, że \(\displaystyle{ \beta = -2.}\)
\(\displaystyle{ stąd \alpha = 3}\)
Drugie jest spełnione, a trzecie pod warunkiem, że \(\displaystyle{ a = 13.}\)

[Kartezjusz]

MIstrz, a skąd wiesz, że zachodzi akurat tak? Rząd może przyjąć trzy wartości ,a nie dwie.