\(\displaystyle{ \vec{x} = \begin{bmatrix}
1\\
2\\
-1\\
-1
\end{bmatrix}
\\
\vec{y} = \begin{bmatrix}
2\\
-2\\
5\\
2
\end{bmatrix}
\\
\vec{z} = \begin{bmatrix}
-1\\
10\\
8\\
-7
\end{bmatrix}}\)
Jak wyznaczyć teraz:
\(\displaystyle{ span(x,y) \cap span(z)}\)
?? Bardzo proszę o dokadne wytłumaczenie
pzrekrój dwóch przestrzeni
- Mistrz
- Użytkownik
- Posty: 637
- Rejestracja: 10 sie 2009, o 09:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 135 razy
pzrekrój dwóch przestrzeni
Są dwie możliwości. Albo \(\displaystyle{ z}\) leży w płaszczyźnie \(\displaystyle{ \hbox{span} (x,y)}\) i wtedy odpowiedzią jest \(\displaystyle{ \hbox{span} (x,y) \cap \hbox{span} (z) = \hbox{span} (z)}\), albo nie leży i wtedy odpowiedzią jest podprzestrzeń trywialna \(\displaystyle{ \{0\}}\). Jasne? To sprawdzamy, czy \(\displaystyle{ z\in \hbox{span} (x,y)}\). W tym celu bierzemy dowolny wektor z \(\displaystyle{ v \in\hbox{span} (x,y)}\). Jest on postaci \(\displaystyle{ v = a(1,2,-1,-1) + b(2,-2,5,2)}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{R}}\). Czy może być \(\displaystyle{ v=z}\), czyli \(\displaystyle{ (a+2b,2a-2b,-a+5b,-a+2b)=(-1,10,8,-7)}\)? Nie, gdyż układ równań \(\displaystyle{ (a+2b,2a-2b,-a+5b,-a+2b)=(-1,10,8,-7)}\) nie ma rozwiązań (przynajmniej mi wyszło, że nie ma). No to \(\displaystyle{ z \not\in \hbox{span} (x,y)}\), czyli \(\displaystyle{ \hbox{span} (x,y) \cap \hbox{span} (z) =\{0\}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1922
- Rejestracja: 26 mar 2012, o 18:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 695 razy
- Pomógł: 4 razy
pzrekrój dwóch przestrzeni
Nie, układ równań ma rozwiązanie, gdy \(\displaystyle{ a = 13.}\)
Dodaj do siebie ostatni i pierwszy, wyjdzie, że \(\displaystyle{ \beta = -2.}\)
\(\displaystyle{ stąd \alpha = 3}\)
Drugie jest spełnione, a trzecie pod warunkiem, że \(\displaystyle{ a = 13.}\)
Dodaj do siebie ostatni i pierwszy, wyjdzie, że \(\displaystyle{ \beta = -2.}\)
\(\displaystyle{ stąd \alpha = 3}\)
Drugie jest spełnione, a trzecie pod warunkiem, że \(\displaystyle{ a = 13.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
pzrekrój dwóch przestrzeni
MIstrz, a skąd wiesz, że zachodzi akurat tak? Rząd może przyjąć trzy wartości ,a nie dwie.