Znaleźć bazy podprzestrzeni

[matinf]

Witam,
W \(\displaystyle{ R^3}\) dane są podprzestrzenie:
\(\displaystyle{ X = span ( [1,2,-2]^T, [3,2,1]^T)}\)
\(\displaystyle{ Y = span ([1,-2,3]^T, [4,0,2]^T)}\)
Znaleźć bazy podprzestrzeni \(\displaystyle{ X \cap Y}\),\(\displaystyle{ X+Y}\)

Oczywiście zachodzi:

\(\displaystyle{ X + Y = span ([1,2,-2]^T, [3,2,1]^T, [1,-2,3]^T, [4,0,2]^T)}\)
Więc wiemy, już że te wektory są dobrymi kandydatami na bazę, sprawdźmy czy są liniowo niezależne - jeśli są to mamy bazę, jeśli nie to będę dalej szukał liniowo niezależnych.

Czyli chcemy tak na prawdę, pokazać że istnieje dokładnie jedno rozwiązanie zerowe(Wtedy będą lnz)
\(\displaystyle{ [0,0,0,0] = a[1,2,-2]^T + b[3,2,1]^T + c[1,-2,3]^T + d[4,0,2]^T.}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 & 2& 1 & 4\\
2 & 2& -2& 0\\
-2 & 1 & 3& 2
\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}
1 & 0& 2 & 6\\
0 & 1 & 7& 14\\
0 & 7 & 5& 10
\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}
1 & 0& 2 & 6\\
0 & 1 & 7& 14\\
0 & 0 & -44 & -88
\end{bmatrix}}\)
widzimy, że są liniowo zależne (bo nie da się dalej zeschodkować, a istnieje rozwiązanie niezerowe) więc
łatwo sprawdzić, że wektory:
\(\displaystyle{ [1,2,-2]^T, [3,2,1]^T, [1,-2,3]^T}\) są bazą
(jak je będę schodkował to już wyjdzie).
Wymiar tej \(\displaystyle{ X+Y}\) wobec tego to \(\displaystyle{ 3.}\)

Pozostało mi wyznaczyć bazę \(\displaystyle{ X \cap Y,}\) ale to dopiero jak powiecie, czy dobrze jest to rozwiązanie.

[Mistrz]

Jak masz cztery wektory w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\), to one są liniowo zależne, bo jest ich za dużo (więcej niż 3) i nie musisz nic liczyć, żeby to stwierdzić. Faktycznie, te 3, które dalej napisałeś, tworzą bazę. Inną bazą tej samej przestrzeni jest \(\displaystyle{ (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}\)

[matinf]

Ok, ale proszę również o sprawdzenie tego, ponadto jednak o pomoc z tym \(\displaystyle{ X \cap Y}\)