dowód z sumą algebraiczną podprzestrzeni

[matinf]

Witam,
Mamy,
Niech\(\displaystyle{ W_1 = \{ [x_1, x_2, x_3] \in R^3 : x_1 + x_2 + x_3 = 0 \}}\)
\(\displaystyle{ W_2 = \{ [x_1, x_3, x_3] \in R^3 : x_1 = 0 \}}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ R^3 = W_1 + W_2}\) i zbadać, czy suma algebraiczna \(\displaystyle{ W_1 + W_2}\) jest sumą prostą.

No więc mamy dwie jakieś podprzestrzenie\(\displaystyle{ R^3}\) o określonych własnościach/restrykcjach.
Więc to co mamy wykazać, to:
\(\displaystyle{ R^3 = W_1 + W_2}\)
a więc dowolny wektor r z R^3, musi dać zawsze się przedstawić za pomocą wektorów \(\displaystyle{ w_1, w_2}\), z \(\displaystyle{ W_1}\) i \(\displaystyle{ W_2}\), tzn musi zachodzić równanie:
\(\displaystyle{ r = w_1 + w_2}\)
\(\displaystyle{ [a,b,c] = [x_1, x_2, x_3] + [y_1, y_2, y_3] = [-x_2 - x_3, x_2, x_3] + [0, y_2, y_3].}\)
I teraz pasuje pokazać, że to równanie ma rozwiązanie, obojętnie ile, ale, że ma. Jeśli będzie dokładnie jedno to to odpowiemy, że istotnie jest to suma prosta, bo każdy wektor \(\displaystyle{ [a,b,c]}\) można przedstawić JEDNOZNACZNIE za pomocą \(\displaystyle{ w_1, w_2}\).

więc mamy układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}
-x_2-x_3 & &= a\\
x_2 + & y_2 &= b \\
x_3 & + y_3 & = c
\end{matrix}\right.

\\
\\zapiszmy\ w\ macierz\ w\ celu\ gaussowania
\begin{bmatrix}
(-x_2-x_3) & 0 & |\ a\\
x_2 & y_2 & |\ b\\
x_3& y_3 & |\ c
\end{bmatrix}

\rightarrow

\begin{bmatrix}
0 & y_2+y_3 & |\ a+b+c\\
x_2 & y_2 & |\ b\\
x_3& y_3 & |\ c
\end{bmatrix}\rightarrow
\begin{bmatrix}
y_2& y_3 & | a+ b +c\\
x_2+x_3& y_2+y_3 & | b+c\\
x_3& + y_3 & | c
\end{bmatrix}
na\ uklad\ rownan:
\\ \\
\left\{\begin{matrix}
y_2 + y_3 & &= a+b+c \\
x_2+x_3+ & y_2 + y_3 & = b+c \\
x_3 &+ y_3 & =c
\end{matrix}\right.}\)

I teraz wydaje mi się, że jest więcej niz jedno rozwiązanie. Ale jak zgrabnie to uzasadnić, że jest więcej niż jedno rozwiązanie ?

[norwimaj]

Czemu ma służyć zapisywanie układu równań w macierzy, jeśli nie poprawie czytelności? Lepiej jest zapisać tak:

\(\displaystyle{ \left[\left\{\begin{matrix}
-x_2-x_3 & &= a\\
x_2 + & y_2 &= b \\
x_3 & + y_3 & = c
\end{matrix}\right.\right]}\)

czy tak:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{rrrr|r}
-1 & -1 & 0 & 0 & a \\
1 & 0 & 1 & 0 & b \\
0 & 1 & 0 & 1 & c
\end{array}\right]}\)

?

Może po poprawie zapisu łatwiej coś wywnioskujesz. Zresztą to nie może być suma prosta, co można pokazać rachunkiem na wymiarach przestrzeni: \(\displaystyle{ 2 + 2 > 3}\).

[matinf]

No widzę, o co Tobie chodzi, ale jakim prawem możemy sobie nagle z macierzy trzy kolumnowej zrobić macierz 4-kolumnową ?-- 17 lis 2013, o 14:28 --Ponadto to co pokzałeś nie odpowiada (ta macierz) nie odpowiada mojemu układowi równań)

[norwimaj]

Ile jest niewiadomych w tym układzie równań?

[matinf]

To jest dobre pytanie, bo tak na prawdę nie mam pewności.
jeśli a,b,c to niewiadomoe (tak się spodziewam to trzy)
Jednak nie podoba mi się ogólnie pewna rzecz:
Popatrz na ostatnie równanie tego układu (klamerki).
Tam sa trzy "rzeczy" coś1 + coś2 = coś3.
Skąd w Twojej macierzy może się nagle pojawić 4 kolumny ?
Ja twierdzę właśnei, że mają być dwie ?
Czyżbyś po po prostu brał jeszcze to wszystko raz w macierZ?

[norwimaj]

Masz dany wektor \(\displaystyle{ [a,b,c]}\) i chcesz sprawdzić, czy da się go zapisać jako \(\displaystyle{ [-x_2 - x_3, x_2, x_3] + [0, y_2, y_3]}\). Czyli \(\displaystyle{ a,b,c}\) są jakimiś znanymi liczbami. Nie znamy liczb \(\displaystyle{ x_2,x_3,y_2,y_3}\).

[matinf]

Ok, tak a,b,cd to są dowolne liczby rzeczywiste (stałe).
więc z tego powstaną nam 4 równania (uklad 4 równań).
Ale w każdym nie będzie więcej niż:
cos1 + cos2 = cos (a,b,lub c)
Czyż nie
W koncu o co chodzi ?

[norwimaj]

więc z tego powstaną nam 4 równania (uklad 4 równań).

Gdzie masz te cztery równania? Równanie \(\displaystyle{ [a,b,c] = [-x_2 - x_3, x_2, x_3] + [0, y_2, y_3]}\) to trzy równania w liczbach rzeczywistych. (po jednym na każdą współrzędną)

[matinf]

Nie, no bo już zaczyna się robić chaos, jasne są trzy równania.
ale w każym równaniu mamy coś1 + coś 2 = coś3.
NIe wiem nadal skąd bierzesz taką macierz?

[norwimaj]

Są trzy równania, to prawda. A ile w końcu jest niewiadomych?

[matinf]

No niewiadomych cztery.

[norwimaj]

Czyli wszystko się zgadza w macierzy? Trzy wiersze odpowiadające trzem równaniom, cztery kolumny odpowiadające czterem niewiadomym i ostatnia kolumna wyrazów wolnych.

[matinf]

ja nie rozumiem zupełnie.
Dobrze zapisałem ten układ, prawda? Ale on wtedy nie ma odbicia w Twojej macierzy, a powinien mieć.
Pokaż, jak wrócisz z tej macierzy Twojej na mój układ, ale pokaż tak, żeby było wszystko widać, zaznaczając zera.

[norwimaj]

Dobrze zapisałem ten układ, prawda?

Tak. I właściwie mógłbyś wcale nie przechodzić na macierz. To jest tylko kwestia zapisu. Ale tak czy siak warto różne niewiadome pisać w osobnych kolumnach.

Ale on wtedy nie ma odbicia w Twojej macierzy, a powinien mieć.

Który wyraz macierzy się nie zgadza, albo co do którego masz wątpliwość?

[matinf]

Wieczorem to przeanalizuję, i wtedy odpiszę - muszę na spokojnie.-- 18 lis 2013, o 16:45 --\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
-1 & -1 & 0 & 0& |a\\
1 & 0 & 1 & 0& | b\\
0 & 1 & 0 & 1& | c
\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}
-1 & -1 & 0 & 0& |a\\
0 & -1 & 1 & 0& | b+a\\
0 & 1 & 0 & 1& | c
\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0 & 1& |a+c\\
0 & -1 & 1 & 0& | b+a\\
0 & 1 & 0 & 1& | c
\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0 & 1& |a+c\\
0 & -1 & 1 & 0& | b+a\\
0 & 0 & 0 & 1& | c + b
\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0 & 1& |a+c\\
0 & -1 & 1 & 0& | b+a\\
0 & 0 & 1 & 1& | c + b
\end{bmatrix}
\rightarrow
\left\{\begin{matrix}
x_2 & & - y_3& = -a-c& \\
& x_3 & &=-b-a \\
& y_2 + & y_3& = c+b
\end{matrix}\right.}\)


To co chcieliśmy pokazać, to to, że rozwiązanie tamtego układu równan zawsze istnieje. Udało się to.
Dobrze myślę?