Przestrzeń liniowa ciągów zbieżnych

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
LeoBolzano

Przestrzeń liniowa ciągów zbieżnych

Post autor: LeoBolzano »

W przestrzeni \(\displaystyle{ R^{ \infty }_{zb}}\) wszystkich ciągów zbieżnych o wyrazach rzeczywistych wskazać takie dwie różne podprzestrzenie \(\displaystyle{ W_{1}}\) i \(\displaystyle{ W_{2}}\), że \(\displaystyle{ R^{ \infty } _{zb}= W_{1}\oplus R^{ \infty } _{0}= W_{2} \oplus R^{ \infty } _{0}}\), gdzie \(\displaystyle{ R^{ \infty } _{0}}\) oznacza podprzestrzeń ciągów zbieżnych do zera. Potrafiłby ktoś wyjaśnić mi, jak zrobić to zadanie?

-- 22 lis 2013, o 00:58 --

Mam pomysł na pierwszą podprzestrzeń. Dobra będzie podprzestrzeń ciągów stałych. Każdy ciąg zbieżny jest sumą ciągu zbieżnego do zera i stałego na mocy twierdzenia: Ciąg \(\displaystyle{ x_{n}}\) zbiega do \(\displaystyle{ g \in \RR}\)\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) ciąg \(\displaystyle{ x_{n}-g}\) zbiega do zera. Jest to suma prosta, bo ciągiem jednocześnie stałym i zbieżnym do zera jest ciąg stale równy zero.-- 22 lis 2013, o 00:58 --Mam pomysł na pierwszą podprzestrzeń. Dobra będzie podprzestrzeń ciągów stałych. Każdy ciąg zbieżny jest sumą ciągu zbieżnego do zera i stałego na mocy twierdzenia: Ciąg \(\displaystyle{ x_{n}}\) zbiega do \(\displaystyle{ g \in \RR}\)\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) ciąg \(\displaystyle{ x_{n}-g}\) zbiega do zera. Jest to suma prosta, bo ciągiem jednocześnie stałym i zbieżnym do zera jest ciąg stale równy zero.
ODPOWIEDZ