Sens zapisu span (....)

matinf · Post autor: **matinf** » 17 lis 2013, o 00:34

Witam,
Czy ten zapis ma zawsze sens ?
Założmy, że mamy wektory \(\displaystyle{ (x_1,...,x_5).}\) Czyli wektory należące do \(\displaystyle{ \RR^5}\).
Ale czy to ma sens
weźmy przykładowo
\(\displaystyle{ (1,2,3,4,5)}\)
napiszę \(\displaystyle{ \mbox{span }(1,2,3,4,5)}\)
I jaką teraz przestrzeń to rozpina ?
albo
\(\displaystyle{ \mbox{span } ( (1,2,3,4,5), (4,5,62,1,5))}\)
Jak to rozumieć ?
albo \(\displaystyle{ \mbox{span } (3,4,6)}\)

Mistrz · Post autor: **Mistrz** » 17 lis 2013, o 01:00

\(\displaystyle{ \hbox{span}((1,2,3,4,5)) = \{a(1,2,3,4,5): a \in \mathbb{R}\}}\)
\(\displaystyle{ \hbox{span}((1,2,3,4,5),(4,5,62,1,5)) = \{a(1,2,3,4,5) + b(4,5,62,1,5): a,b \in \mathbb{R}\}}\)

Po prostu jak piszesz span(...) i w środku jakieś wektory, to to oznacza zbiór wszystkich kombinacji liniowych tych wektorów

matinf · Post autor: **matinf** » 17 lis 2013, o 01:20

Czyli de'facto zbiór wszystkich wektorów, które można przedstawić jako kombinację liniową tych w nawiasie.
A w takim razie, skoro to zbiór wszysktich kombinacji, to na pewno rozpina przestrzeń.
Dobzre myślę?
Bo co w takim razie ma zapis span do rozpianiania przestrzeni ?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 17 lis 2013, o 11:05

Rozpinanie przestrzeni to jedno. Zapis symboliczny przestrzeni rozpiętej na wektorach to co innego.

I tak, przestrzeń rozpięta na wektorach jest przestrzenią liniową.

matinf · Post autor: **matinf** » 17 lis 2013, o 11:21

Ok, ale cały czas sie waha, czy jak napiszę span (byle co) to rozepnę jakąś przestrzeń ?
Jak to jest?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 17 lis 2013, o 13:02

Dla byle jakiego zbioru \(\displaystyle{ A\neq\emptyset}\) o "podobnych" elementach, tzn liczbach, wektorach, funkcjach czy macierzach lub innych tego samego rodzaju, zapis \(\displaystyle{ \text{span}A}\) oznacza to, co Mistrz pisał. A to jest przestrzeń liniowa.

matinf · Post autor: **matinf** » 17 lis 2013, o 13:39

W takim razie, zawsze zachodzi:
Niech \(\displaystyle{ X}\) to będzie zbiór tych wektorów, które są kombinacją każdych innych.
Niech \(\displaystyle{ Y}\) będzie tymi wektorami z \(\displaystyle{ X}\), które są lnz

Jeśli \(\displaystyle{ V = span (x) to V = span (x) = span (Y)}\)

yorgin · Post autor: **yorgin** » 17 lis 2013, o 13:53

Nie precyzujesz dokładnie, czym jest \(\displaystyle{ Y}\). Czy są to wszystkie liniowo niezależne, czy nie? Jak nie wszystkie, to nie zajdzie generowanie. Poza tym \(\displaystyle{ Y}\) nie zawsze daje się wskazać.

Przy okazji - zapis lnz jest absurdalny.

matinf · Post autor: **matinf** » 17 lis 2013, o 14:06

Tak, \(\displaystyle{ Y}\) to są wszystkie niezależne liniowo które są w \(\displaystyle{ X}\).
1) Dwa pytania: możesz powiedzieć, o co dokładnie chodzi, że wektor generuje rozwiązania ?
2) Jeśli spotkam zapis\(\displaystyle{ V = span (jakies wektory)}\)
to czy mogę z automatu powiedzieć, że jeśli one wszystkie są liniowo niezależne to są bazą,
jeśli ileś z nich (No np prawie wszystkie, tzn bez dwóch). są liniowo niezależne to są bazą, więc również rozpinają przestrzeń \(\displaystyle{ V}\) (to chcialem zapisać tamtym równaniem)

yorgin · Post autor: **yorgin** » 17 lis 2013, o 18:58

1) Wektor generuje rozwiązania (czegoś tam), tzn ten wektor razy jakiś skalar jest rozwiązaniem. Gdy jest więcej wektorów, to wektory generują rozwiązanie, gdy dowolna ich kombinacja liniowa jest rozwiązaniem.

2) Liniowo niezależny zbiór generujący to z definicji baza. Jeżeli z tych jakichś wektorów możesz wybrać wektory liniowo niezależne generujące całą przestrzeń, to te wybrane są bazą.