dowód równości

[MikolajB]

Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią wektorową nad ciałem \(\displaystyle{ F}\).
\(\displaystyle{ A=\left\{v _{1}, ... ,v _{n}\right\}}\)

Definiuję podprzestrzeń generowaną przez zbiór \(\displaystyle{ A}\):

\(\displaystyle{ lin\left\{ A\right\} =\left\{ \sum_{1}^{n}a _{j}v _{j} : a _{j} \in F \right\}}\)

pokazać że \(\displaystyle{ \left\{ \sum_{1}^{n}a _{j}v _{j} : a _{j} \in F \right\} = \bigcap_{}^{} Q}\) : \(\displaystyle{ Q}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\), \(\displaystyle{ A \subset Q}\)

faktycznie, zawieranie w drugą stronę.

[robertm19]

Chyba powinno być \(\displaystyle{ A\subset Q}\).

[oldj]

robertm19 ma rację, zawieranie w drugą stronę.
Chcemy pokazać równość zbiorów, najłatwiej będzie pokazać dwa zawierania.
\(\displaystyle{ \subset}\) : \(\displaystyle{ A}\) jest podzbiorem każdego \(\displaystyle{ Q}\), więc otoczka liniowa \(\displaystyle{ A}\) też będzie podzbiorem każdego \(\displaystyle{ Q}\) (bo \(\displaystyle{ Lin(A)}\) jest najmniejszą w sensie zawierania podprzestrzenią zawierającą \(\displaystyle{ A}\), a każde \(\displaystyle{ Q}\) jest podprzestrzenią (być może większą, na pewno nie mniejszą) zawierającą \(\displaystyle{ A}\)) . Zatem otoczka będzie też zawierać się w przekroju, czyli \(\displaystyle{ Lin(A) \subset \bigcap_{}^{} Q}\)
W drugą stronę : zauważmy, że \(\displaystyle{ Lin(A)}\) jest brana w tym przekroju - zawiera \(\displaystyle{ A}\) i jest podprzestrzenią. Zatem na pewno \(\displaystyle{ \bigcap_{}^{} Q \subset Lin(A)}\)

[MikolajB]

jak to zapisać formalnie?

/tak tak, zawieranie powinno być w drugą stronę/

[oldj]

Która część jest nieformalna? Język polski jest również mile widziany w matematyce, nie musimy używać tylko 'znaczków'.