pokazać, że zbiór jest podprzestrzenią

[matinf]

Pokaz, ze zbiór
\(\displaystyle{ X = \left\{p \in R[x]_3 : p(-1) + p(1) = p(0) = p(2)\right\}}\)
jest podprzestrzenia liniowa w\(\displaystyle{ R[x]_3}\). Wskaz baze i okresl wymiar.

Jak mam to pokazać, że jest podprzestrzenią, skoro nie jest ?

Trzeba pokazać, że suma dwóch wielomianów spełnia własność tego zbioru, oraz skalar razy ten wielomian również.

Najpierw suma:
\(\displaystyle{ p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d}\)
I teraz p musi spełniac własność zbioru X, tzn:
\(\displaystyle{ p(-1) + p(1) = -a +b -c +d + a + b + c+ d = 2b + d}\)
\(\displaystyle{ p(0) = d}\)
czyli mam rozumieć, że skoro, własność:
\(\displaystyle{ p(0) = p(-1) + p(1) \Rightarrow b = 0}\)
\(\displaystyle{ p(2) = 8a + 4b +2c +d = d}\)
wtedy wszystko zera poza \(\displaystyle{ d}\).
W takim razie o co w koncu chodzi z tą własnościa ?

[yorgin]

\(\displaystyle{ p(-1) + p(1) = -a +b -c +d + a + b + c+ d = 2b + d}\)

\(\displaystyle{ \ldots = 2b+2d}\)

\(\displaystyle{ p(0) = d}\)

Ok.

czyli mam rozumieć, że skoro, własność:
\(\displaystyle{ p(0) = p(-1) + p(1) \Rightarrow b = 0}\)

Ten wniosek jest do poprawy.

\(\displaystyle{ p(2) = 8a + 4b +2c +d = d}\)
wtedy wszystko zera poza \(\displaystyle{ d}\).
W takim razie o co w koncu chodzi z tą własnościa ?

Nie, to nie jest prawdą. Co najwyżej \(\displaystyle{ 8a+4b+2c=0}\) ale nie wszystkie \(\displaystyle{ a, b, c}\) muszą być zerami.

[matinf]

Jasne, ale głupotę napisałem

Z \(\displaystyle{ q}\) możemy tak samo rozpisać, sprawdźmy czy suma \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) wchodzi do tej podprzestrzeni:

\(\displaystyle{ p+q = x^3(a+e) + x^2 (b+f) +x(c+g) + (h+d)}\)
\(\displaystyle{ (p+q)(0) = h+d}\)
\(\displaystyle{ (p+q)(1) + (p+q)(-1) = a+e + b+f + c +g +h +d -e -a +b + f -c -g +h +d = 2(h+d+b+f)}\)
I teraz nie jest spełniona właność zbioru X!
bo \(\displaystyle{ (p+q)(0) \neq (p+q)(-1) + (p+q)(1)}\)
A miałem za zadanie pokazać, że jest to podprzestrzeń. Co jest grane?

[yorgin]

Zapominasz, że \(\displaystyle{ d=p(0)=p(-1)+p(1)=2(b+d)}\) i podobnie \(\displaystyle{ h=q(0)=q(-1)+q(1)=2(h+f)}\).

[matinf]

Ok, faktycznie, zgubiłem "wcześniejsze" własności.
Więc jeszcze pokazać, że
\(\displaystyle{ (p+q)(2) = (p+q)(0)}\)
Ale najpierw, żeby znowu nie zgubić:
\(\displaystyle{ p(2)= 8a + 4b + 2c +d}\)
\(\displaystyle{ q(2) = 8e + 4f +2g +h}\)

\(\displaystyle{ (p+q)(2) = 8a + 4b + 2c +d + 8e + 4f +2g +h = p(2) + q(2) = p(0) + q(0) = (p+q)(0)}\)

Teraz iloczyn przez skalar, nie bardzo wiem co tu jest skalarem. obstawiam, że coś rzeczywistego.

Niech więc k in R.
\(\displaystyle{ k \cdot p \in X}\)
\(\displaystyle{ k \cdot p = k(ax^3 + bx^2 + cx + d)}\)
Czy spełnia własności zbioru X?
Przekonajmy się:
\(\displaystyle{ kp(-1) + kp(1) = k(p(-1) + p(1)) = k(p(0)) = k(p(2))}\)
Czyli jedyne co zrobiłem, to wyłączyłem k przed nawias.
Ok, bo chcę już ruszać z istotniejszą częścią zadania ?

[yorgin]

Ok, faktycznie, zgubiłem "wcześniejsze" własności.
Więc jeszcze pokazać, że
\(\displaystyle{ (p+q)(2) = (p+q)(0)}\)
Ale najpierw, żeby znowu nie zgubić:
\(\displaystyle{ p(2)= 8a + 4b + 2c +d}\)
\(\displaystyle{ q(2) = 8e + 4f +2g +h}\)

\(\displaystyle{ (p+q)(2) = 8a + 4b + 2c +d + 8e + 4f +2g +h = p(2) + q(2) = p(0) + q(0) = (p+q)(0)}\)

Ok.

Teraz iloczyn przez skalar, nie bardzo wiem co tu jest skalarem. obstawiam, że coś rzeczywistego.

Skaralerem jest to, co może być współczynnikiem. Więc liczba rzeczywista.

Niech więc k in R.
\(\displaystyle{ k \cdot p \in X}\)
\(\displaystyle{ k \cdot p = k(ax^3 + bx^2 + cx + d)}\)
Czy spełnia własności zbioru X?
Przekonajmy się:
\(\displaystyle{ kp(-1) + kp(1) = k(p(-1) + p(1)) = k(p(0)) = k(p(2))}\)
Czyli jedyne co zrobiłem, to wyłączyłem k przed nawias.
Ok, bo chcę już ruszać z istotniejszą częścią zadania ?

Ok.

Uwaga - całe rozumowanie można było przeprowadzić bez zapisywania \(\displaystyle{ p=ax^3+bx^2+cx+d}\). Taka postać jest potrzebna do drugiej części zadania.

A propo drugiej części. To będzie przypominało mniej więcej rozwiązywanie układu równań. Masz narzucony warunek na \(\displaystyle{ p}\) przez opis zbioru. Zapisz sobie \(\displaystyle{ p(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\), podstaw warunki i "rozwiąż" poszukując \(\displaystyle{ a, b, c, d}\).

[matinf]

\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}
2b + d = 0 \\
8a + 4b + 2c = 0
\end{matrix}\right. \\
\begin{bmatrix}
0 & 2 & 0 & 1\\
8 & 4 & 2 & 0
\end{bmatrix}\rightarrow
\begin{bmatrix}
0 & 2 & 0 & 1\\
4 & 2 & 1 & 0
\end{bmatrix}\rightarrow
\begin{bmatrix}
4 & 2 & 1 & 0\\
0 & 2 & 0 & 1
\end{bmatrix}\\
\\
b=s \\
d= -2s \\
a=t \\
c=-4t-s \\
(t,s,-4t-s-2s) = t(1,0,-4, 0) + s(0,1,-1,2)}\)
Pozostaje sprawdzić, czy te dwa wektory są liniowo niezależne - że jest kombinacją dowlnych wektorów to juz widzimy. Oczywicie są lnz, więc jest to baza. Wymiar to 2

Ok ?
Od razu jeszcze kilka pytań.
1) Czasem będziemy potrzebować wprowadzić, nie tylko s i t, ale i trzecią zmienną.
2) Czy ja dobrze pojmuję co ja robiłem ? Gaussowałem w celu uzależnienia od siebie jak największej ilosci zmiennych. Po to, żeby potem pokazać, jak wygląda wektor tej przestrzeni, i że każdy wektor tej przestrzeni jest kominacją liniową JAKICHŚ wektorów (w domyśle tych z bazy)

[yorgin]

\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}
2b + d = 0 \\
8a + 4b + 2c = 0
\end{matrix}\right. \\
\begin{bmatrix}
0 & 2 & 0 & 1\\
8 & 4 & 2 & 0
\end{bmatrix}\rightarrow
\begin{bmatrix}
0 & 2 & 0 & 1\\
4 & 2 & 1 & 0
\end{bmatrix}\rightarrow
\begin{bmatrix}
4 & 2 & 1 & 0\\
0 & 2 & 0 & 1
\end{bmatrix}\\
\\
b=s \\
d= -2s \\
a=t \\
c=-4t-s \\
(t,s,-4t-s-2s) = t(1,0,-4, 0) + s(0,1,-1,2)}\)

Taki prosty układ, a tak długie i do tego błędne rozwiązanie.

Pozostaje sprawdzić, czy te dwa wektory są liniowo niezależne - że jest kombinacją dowlnych wektorów to juz widzimy. Oczywicie są lnz, więc jest to baza. Wymiar to 2

Ok.

Od razu jeszcze kilka pytań.
1) Czasem będziemy potrzebować wprowadzić, nie tylko s i t, ale i trzecią zmienną.

To nie jest pytanie.

2) Czy ja dobrze pojmuję co ja robiłem ? Gaussowałem w celu uzależnienia od siebie jak największej ilosci zmiennych. Po to, żeby potem pokazać, jak wygląda wektor tej przestrzeni, i że każdy wektor tej przestrzeni jest kominacją liniową JAKICHŚ wektorów (w domyśle tych z bazy)

Tak. Rozwiązujesz ten układ tak, by wskazać ogólną postać rozwiązania. Z niej odczytujesz wektory, które generują każde rozwiązanie (to, co robiłeś wyżej, gdy zapisałeś rozwiązanie jako kombinację liniową dwóch wektorów).

Zadanie jeszcze nie jest skończone, gdyż trzeba jeszcze wypisać bazę \(\displaystyle{ X}\).

[matinf]

Tak, źle przepisałem z kartki:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} 2b + d = 0 \\ 8a + 4b + 2c = 0 \end{matrix}\right. \\ \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 & 1\\ 8 & 4 & 2 & 0 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 & 1\\ 4 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 4 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ \\ b=s \\ d= -2s \\ a=t \\ c=-4t-2s \\ (t,s,-4t-2s-2s, -2s) = t(1,0,-4, 0) + s(0,1,-2,-2)}\)

Teraz chyba gra rozwiązanie ?

Wtedy baza to:
\(\displaystyle{ \{ (1,0,-4, 0), (0,1,-2,-2) \}}\)
A więc jej wymiar to \(\displaystyle{ 2}\)

To nie jest pytanie.

Ok, czy jest więc jakaś intuicja, ile liter będzie trzeba podstawić? Bo jak na razie robię to tak "jak wychodzi dobrze"

[yorgin]

Wtedy baza to:
\(\displaystyle{ \{ (1,0,-4, 0), (0,1,-2,-2) \}}\)
A więc jej wymiar to \(\displaystyle{ 2}\)

To nie jest baza \(\displaystyle{ X}\). \(\displaystyle{ X}\) jest przestrzenią wielomianów.

Ok, czy jest więc jakaś intuicja, ile liter będzie trzeba podstawić? Bo jak na razie robię to tak "jak wychodzi dobrze"

Intuicja jest taka, że jak jest \(\displaystyle{ n}\) równań z \(\displaystyle{ m}\) niewiadomymi, to spodziewamy się co najmniej \(\displaystyle{ m-n}\) zmiennych, które będą dowolne. Ale nie ma reguły.

[matinf]

Wtedy baza to:
\(\displaystyle{ \{ (1,0,-4, 0), (0,1,-2,-2) \}}\)
A więc jej wymiar to \(\displaystyle{ 2}\)

To nie jest baza \(\displaystyle{ X}\). \(\displaystyle{ X}\) jest przestrzenią wielomianów.

To w takim razie co jest bazą ? Jaki jest wymiar, bo się zgubiłem.

[yorgin]

To, co napisałeś, to wektory generujące rozwiązania pewnego układu. Ten układ wziąłeś sprawdzając warunki dla wielomianów. Jak zamienić teraz te wektory rozwiązań na wielomiany?

Wymiar to \(\displaystyle{ 2}\) i nigdzie się nie zgubiłeś.

[matinf]

\(\displaystyle{ x^3 - 4x}\)
oraz
\(\displaystyle{ x^3 -2x - 2}\)


hmm, czyli te wielomiany to baza tego co było zadane w treści ?

[yorgin]

\(\displaystyle{ x^3 - 4x}\)
oraz
\(\displaystyle{ x^3 -2x - 2}\)

Drugi wielomian jest niepoprawny. Zła potęga w jednym miejscu.

hmm, czyli te wielomiany to baza tego co było zadane w treści ?

Tak.

[matinf]

Czy możemy jeszcze jedno podobne zadanie tutaj rozważyć?

\(\displaystyle{ Niech X = \{p \in C[x]_5 : p(0) = p(1) = p(−1)\}}\)
Znaleźć bazę i wymiar.

wielomian wygląda tak:
\(\displaystyle{ p(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 +dx^2 + ex + f}\)
Mamy dwa warunki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} p(1) =p(0)\\p(-1) = p(0) \end{cases}
\\ \begin{cases} a+b+c+d+e+f =f\\p(-1) = -a+b-c+d-e+f = f \end{cases}
\\ \begin{cases} a+b+c+d+e = 0 \\ -a+b-c+d-e =0 \end{cases}}\)
Czyli mamy, że:
\(\displaystyle{ \\ \begin{cases} a+b+c+d+e = 0\\ b+d =0 \end{cases}}\)
jak mam to skończyć ?