szukanie bezy podprzestrzeni

[matinf]

Witam,
mam dwa przykłady, w których szukam bazy podprzestrzeni przestrzeni \(\displaystyle{ R^5}\)
a)
\(\displaystyle{ V = \left\{ \vec{x} \in R^5 : x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 0 \right\}}\)
\(\displaystyle{ x_1 = -x_2 - x_3 - x_4 -x_5}\)
Czyli wektory w V wyglądają tak:

\(\displaystyle{ (-x_2 - x_3 - x_4 -x_5, x_2, x_3, x_4, x_5)}\)
Wobec tego, przedstawmy je w następujący sposób:
\(\displaystyle{ \vec{x} = x_2(-1, 1, 0,0,0) + x_3(-1,0,-1,0,0) + x_4(-1, 0,0,1,0) +x_5(-1, 0, 0, 0, 1)}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
-1 & -1 & -1 & -1\\
1 & 0& 0& 0 \\
0 & 1& 0& 0\\
0 & 0& 1& 0\\
0 & 0& 0& 1\\
\end{bmatrix} \\
\\
x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = x_5 = 0
\\}\)
napisałem tą macierz, żebym lepiej widział, że rzeczywiście jest to lnz (\(\displaystyle{ x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = x_5}\))
Czyli:
każdy wektor jest w tej podprzestrzeni jest kombinacją liniową wektorów:
\(\displaystyle{ \vec{x} = x_2(-1, 1, 0,0,0) + x_3(-1,0,-1,0,0) + x_4(-1, 0,0,1,0) +x_5(-1, 0, 0, 0, 1)}\)
Ponadto są one niezależne, więc jest to baza.


Czego sie możecei tutaj przyczepić ? W ogóle dobrze to jest ?
zaraz wrzucę kolejny, trudniejszy przykład.

-- 16 lis 2013, o 19:43 --

II przykład:
\(\displaystyle{ W = \left\{\vec{x} : x\in R^5 : x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = x_1 - 2x_2 + 3x_3 - 4x_4 + 5x_5 = 0 \right\}}\)

Więc idźmy dalej.
Zapiszmy to w układzie równań, pro'forma;

\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}
x_1 &+ x_2 & + x_3 &+x_4 & +x_5 = 0 & \\
x_1 &- 2x_2 & + 3x_3 &-4x_4 & +5x_5 = 0 &
\end{matrix}\right.
\\
\\

\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -2 & 3 & -4 & 5
\end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix}
1 & 0 & \frac{5}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{7}{3}\\
0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{5}{3} & -\frac{4}{3}
\end{bmatrix}\\ \\
x_4 = 3t \\
x_3 = 3s
x-5 = 3r}\)

Wtedy mamy:
\(\displaystyle{ x_1 = 2t - 5s - 7r \\
x_2 = 2s - 5t + 4r \\
x_3 = 3s \\
x_4 = 3t \\
x_5 = 3r}\)

Zatem
\(\displaystyle{ (2t - 5s - 7r,2s - 5t + 4r, 3s, 3t, 3r) = \\
t(2,-5,0,3,0) + \\
s(-5, 2,0,0,3) + \\
r(-7,4,3,0,0)}\)

Zakładajmy, że dobrze zgaussowałem (na pewno dobrze, bo sprawdzałem z 10 razy).
Czyli doszedłem, że każdy wektor tej podprzestrzeni można przedstawić w postaci kombinacji wekttorów, które są na końcu.
Gdybym pokazał, że są one liniowo niezależne, to czy mogę od razu powiedzieć, że tworzą one bazę ?
Tak wiem, korzystalem przecież z tego w poprzednim przykładzie, ale tutaj chciałbym się upewnić.