Pole trójkąta o wierzchołkach.

[dawid.barracuda]

Witam. Mam takie zadanie:
Znaleźć pole trójkąta o wierzchołkach \(\displaystyle{ A(2;0;1)}\), \(\displaystyle{ B(4;1;3)}\), \(\displaystyle{ C(3;3;2)}\) oraz długość wysokości \(\displaystyle{ h_C}\) opuszczonej z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\).

Wobec tego wyznaczyłem dwa wektory:
\(\displaystyle{ \vec{AB} = \left[ 2;1;2\right]}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{AC} = \left[ 1;3;1\right]}\).
Pole wyznaczam ze wzoru \(\displaystyle{ S = \frac{\left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right| }{2}}\) i wyniesie ono \(\displaystyle{ \frac{5 \sqrt{2} }{2}}\).

Wysokość z wierzchołka C wyznaczyłem ze wzoru: \(\displaystyle{ h_C= \frac{\left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right|}{\left| \vec{AB} \right| } = \frac{5 \sqrt{2} }{3}}\).
Coś robię nie tak, bo w odpowiedziach mam, że pole to \(\displaystyle{ 5 \sqrt{2}}\) a wysokość \(\displaystyle{ \frac{10 \sqrt{2} }{3}}\). Nie widzę jednak u siebie nigdzie błędów rachunkowych. Proszę o odpowiedź i pozdrawiam.

[norwimaj]

Widocznie błąd w odpowiedziach. Liczyłem korzystając ze wzoru Picka i również wyszło mi pole \(\displaystyle{ \frac{5 \sqrt{2} }{2}}\).

[dawid.barracuda]

A wysokość?

[norwimaj]

Wysokość też jest w odpowiedziach dwa razy za duża. (propagujący się błąd)

[dawid.barracuda]

Ok, dzięki za pomoc i pozdrawiam.