przekształcenie liniowe

[matematyka464]

Cześć
Mamy tak określone \(\displaystyle{ A : \RR [x]_n \rightarrow \RR [x]_n}\)
czy odwzorowaniem liniowym jest: \(\displaystyle{ (A f(x) ) (x) = f(ax +b)}\) gdzie\(\displaystyle{ a, b}\) to ustalone liczby.
O co chodzi w tym zapisie \(\displaystyle{ (A f(x) ) (x)}\)?

Udowodnij, że dla każdego przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ A : V \rightarrow W zachodzi:
dim V= dim \ker A + dim \ im A}\)
Co oznacza to dim?

[szw1710]

\(\displaystyle{ \dim}\) - wymiar. Samo twierdzenie, o którym piszesz, uważam za najpiękniejsze twierdzenie algebry liniowej. Jego dowód znajdziesz w każdym podręczniku i przynajmniej ja nie będę go tu przedstawiał. Zadaj sobie nieco trudu i przeczytaj fragment podręcznika. Dodam tylko, że potrzebne tu jest założenie skończoności wymiarów obu przestrzeni.

Jeśli chodzi o to odwzorowanie, to wielomianowi \(\displaystyle{ f}\) przypisujesz taki wielomian \(\displaystyle{ g}\), że \(\displaystyle{ g(x)=f(ax+b)}\). Odwzorowanie liniowe to takie, które jest addytywne i jednorodne. Wolałem zawsze sprawdzać te dwa warunki oddzielnie. A więc warunek addytywności wygląda tak:

\(\displaystyle{ A(f+g)=A(f)+A(g).}\)

Niech \(\displaystyle{ A(f+g)=h,\;A(f)=f_1,\;A(g)=g_1}\). Tak więc mamy do sprawdzenia, że \(\displaystyle{ h=f_1+g_1}\), co oznacza, że

\(\displaystyle{ (f+g)(ax+b)=f(ax+b)+g(ax+b)}\).

Sprawdź ten warunek, a następnie zapisz i sprawdź warunek jednorodności.

Zapis raczej powinien brzmieć \(\displaystyle{ (Af)(x)=f(ax+b)}\).

[matematyka464]

Sprawdź ten warunek, a następnie zapisz i sprawdź warunek jednorodności.

To Ty już to zrobiłeś, wystarczy dopisać, że:
\(\displaystyle{ (f+g)(ax+b)=f(ax+b)+g(ax+b)=A(f) + A(g)}\)
Jednorodność:
\(\displaystyle{ A(\lambda f) = \lambda f(ax+b) = \lambda Af}\)
dobrze?

[szw1710]

Oczywiście. Coś Cię w tym zapisie zmyliło, bo z tonu wypowiedzi wyczuwam, że mniej więcej wiesz, o co chodzi.

[matematyka464]

ok, do dowodu wrócę, ale:
Mówi się, że zbiór jest liniowo niezależny gdy:
\(\displaystyle{ a_1\alpha_1 + a_2\alpha_2 + .. +a_n\alpha_n = 0}\)
Co oznaczają te \(\displaystyle{ a_i}\)?
Wiem, że pochodzą one z ciała i są skalami tylko chodzi mi o to, czy one są jakieś konkretne dla konkretnych wektorów czy też nie, czy mogą się powtarzać.
Ma to istotne znaczenie dla mnie w zrozumieniu dowodu twierdzenia, że jeżeli jakiś zbiór wektorów jest liniowo zależny, to jeden z jego wektorów jest kombinacją pozostałych.
I właśnie pokazuje autor, że suma w takim wypadku równa 0. Dzieje się tak dlatego, że ten wektor jest przemnożony przez skalar -1. Dlaczego można wybrać sobie akurat -1 i sąd wiadomo, że należy do ciała?

[szw1710]

Jeśli zbiór wektorów \(\displaystyle{ v_1,\dots,v_n}\) jest liniowo zależny, to istnieją skalary \(\displaystyle{ \alpha_1,\dots,\alpha_n}\) takie, że nie wszystkie z nich są zerami oraz \(\displaystyle{ \alpha_1v_1+\dots+\alpha_nv_n=\theta}\) (wektor zerowy). Powiedzmy, że \(\displaystyle{ \alpha_1\ne 0}\), zawsze możemy tak wektory przenumerować. Wtedy \(\displaystyle{ \alpha_1=\frac{\alpha_2}{\alpha_1}v_2+\dots+\frac{\alpha_n}{\alpha_1}v_n}\). Koniec dowodu.

Oczywiście \(\displaystyle{ \frac{a}{b}=ab^{-1}}\). Tak rozumiemy dzielenie w jakimś abstrakcyjnym ciele.

[matematyka464]

dobrze, a skąd masz pewność że \(\displaystyle{ \frac{\alpha_2}{\alpha_1}}\)
należy do ciała K?

[szw1710]

Bo skalary są z ciała, więc \(\displaystyle{ \alpha_2\in K}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha_1^{-1}\in K}\). Tak więc iloraz też leży w ciele.