Dla jakich wartości parametrów a i b wektory są liniowo niez

[matinf]

Witam,
Dla jakich wartości parametrów a i b wektory są liniowo niezależne:
\(\displaystyle{ a,b \in R}\)
\(\displaystyle{ (1,-1, 2)
(2+a, 3a, a+b)}\)

I jak się za to zabrać.
Ok, wektory są liniowo niezależne, jeśli dla dowolnych skalarów \(\displaystyle{ x}\),\(\displaystyle{ y}\):
\(\displaystyle{ x (1,-1,2) + (2+a, 3a, a+b)y = 0}\) mamy, że\(\displaystyle{ x = y = 0}\)
Ale ja nie wiem zupełnie jak to rozwiązać.

[yorgin]

Dwa wektory są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy są proporcjonalne. Skorzystaj z tego.

[matinf]

Długo nad tym siedzę, i nie mogę wymyślć, dlatego wrzuciłem tutaj.

Proszę o jakąś większą wskazówkę, a nawet o pokazanie rozwiązania

[yorgin]

Metoda 1.

Widać moja wskazówka trywializująca zadanie nie wystarcza.

A więc ją rozpiszę.

\(\displaystyle{ k(1,-1,2)=(2+a,3a,a+b)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} k=2+a \\ -k=3a \\ 2k=a+b \end{cases}}\)

A to już potrafisz rozwiązać. Dla wyliczonych \(\displaystyle{ a, b}\) dostaniesz liniową zależność. Wystarczy więc sprawdzić, czy dla pozostałych jest liniowa zależność.

Metoda 2.

Utwórz macierz

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ 2+a & 3a & a+b\end{array}\right]}\)

i sprawdź, dla jakich \(\displaystyle{ a, b}\) jest ona maksymalnego rzędu.


Metoda 3.

Bezpośrednio z definicji mamy

\(\displaystyle{ \alpha (1,-1,2) + \beta(2+a, 3a, a+b) = 0}\)

Chcemy dobrać \(\displaystyle{ a, b}\) tak, by kombinacja była trywialna. Chwila uwagi i dojdziemy do czegoś podobnego, jak w metodzie 1.

[matinf]

Co znaczy, że kombinacja jest trywialna ?

[yorgin]

To znaczy, że wszystkie jej współczynniki są zerami.

[matinf]

Ok, skoro ma być kombinacją trywialną, czyli wektorem postaci:

\(\displaystyle{ \alpha (1,-1,2) + \beta(2+a, 3+a, a+b) = \left[ 0, 0, 0, 0 \right]}\)
(pomyliłem się przy pisaniu treści (zamiast \(\displaystyle{ 3a}\) ma być \(\displaystyle{ 3+a}\), teraz tak będę pisał)

No tak, rzeczywiście otrzymamy układ jak w metodzie I.
Tutaj niewiadomymi są \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\)
Napiszmy ten układ:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}
- \alpha +& (3+a)\beta = 0& \\
\alpha & + (2+a)\beta = 0& \\
2 \alpha& + (a+b)\beta) = 0 &
\end{matrix}\right.
\\
\begin{bmatrix}
1 & 2+a \\
-1 & 3+a \\
2 & a+b
\end{bmatrix}}\)
ALe jak dalej. Proszę bardzo jeszcze o wskazówkę

[yorgin]

\(\displaystyle{ \alpha (1,-1,2) + \beta(2+a, 3+a, a+b) = \left[ 0, 0, 0, 0 \right]}\)

Jedno zero za dużo na końcu.

\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}
- \alpha & (3+a)\beta = 0& \\
\alpha & + (2+a)\beta = 0& \\
2 \alpha& + (a+b)\beta) = 0 &
\end{matrix}\right.
\\
\begin{bmatrix}
1 & 2+a \\
-1 & 3+a \\
2 & a+b
\end{bmatrix}}\)
ALe jak dalej. Proszę bardzo jeszcze o wskazówkę

Chcemy, by układ miał dokładnie jedno rozwiązanie. Będziemy wtedy wiedzieli, że \(\displaystyle{ \alpha=\beta=0}\) (to są fakty z układów równań, których nie będę tłumaczył).

Pytanie więc, jak po macierzy poznać, że układ ma dokładnie jedno rozwiązanie? Zauważ podobieństwo do metody 2.

[matinf]

Tak, oczywiście tam zero za dużo.
Ok - jeśli układ ma jedno rozwiązanie to musi to być jak wspomniałeś \(\displaystyle{ \alpha = \beta = 0}\)
A no tak, bo jeśli jest jedno rozwiązanie to właśnie wtedy patrzmy na 1 rownanie układu.

Gdyby było jedno rozwiązanie oraz nie byłyby to zera (alfa i beta). To wtedy I równanie by nigdy nie zachodziło.

Pytanie więc, jak po macierzy poznać, że układ ma dokładnie jedno rozwiązanie?

Ale właśnie - świetnie - trafiłeś w sendo problemu - jak mamy ro poznać ? Ja tego nie wiem.
Tzn, możemy zgaussować, nawet napiszę jak będzie trzeba Gaussa, to nie wiele -czy mam napisać gaussa i potem analizować ?

[yorgin]

Ok - jeśli układ ma jedno rozwiązanie to musi to być jak wspomniałeś \(\displaystyle{ \alpha = \beta = 0}\)
A no tak, bo jeśli jest jedno rozwiązanie to właśnie wtedy patrzmy na 1 rownanie układu.

Gdyby było jedno rozwiązanie oraz nie byłyby to zera (alfa i beta). To wtedy I równanie by nigdy nie zachodziło.

Nic z tego nie rozumiem. Układy równań albo mają jedno rozwiązanie, zero, albo nieskończenie wiele. Układy jednorodne zawsze mają rozwiązania zerowe. A taki jest nasz układ. Więc jeżeli sprawimy coś na macierzy tak, by miał jedno rozwiązanie, to musi ono być zerowe.

Pytanie więc, jak po macierzy poznać, że układ ma dokładnie jedno rozwiązanie?

Ale właśnie - świetnie - trafiłeś w sendo problemu - jak mamy ro poznać ? Ja tego nie wiem.
Tzn, możemy zgaussować, nawet napiszę jak będzie trzeba Gaussa, to nie wiele -czy mam napisać gaussa i potem analizować ?

Próbuj gaussem. Metoda dowolna, byleby wynik wyszedł poprawny.

Ukryta treść:    

Metoda 1. jest najprostszą i najszybszą. Równie łatwe jest liczenie rzędów macierzy w metodzie 2. Twoje podejście to zbiórka obu prowadząca jeszcze przez eliminację Gaussa, a więc bardzo mało wydajna czasowo.

[matinf]

\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}
- \alpha & \left( 3+a \right) \beta = 0& \\
\alpha & + \left( 2+a \right) \beta = 0& \\
2 \alpha& + \left( a+b \right) \beta \right) = 0 &
\end{matrix}\right.
\\
\begin{bmatrix}
1 & 2+a \\
-1 & 3+a \\
2 & a+b
\end{bmatrix}
\\
\begin{bmatrix}
1 & 2+a \\
0 & 5+2a \\
0 & -a+b-4

\end{bmatrix}
\\
\left\{\begin{matrix}
x\ + & \left( a+2 \right) y = 0 \\
& \left( 5+2a \right) = 0\\
& -a + b-4 = 0
\end{matrix}\right \\
a = -\frac{5}{2}\\
b = \frac{3}{2}}\)

Jeśli za \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) podstawimy to co otrzymaliśmy do 1go równania układu to

I teraz spróbuję jakoś zinterpretować ten wynik. (przeszedłem z alfa i beta na\(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\))
to otrzymamy:

\(\displaystyle{ x - \frac{3}{2} y = 0}\)
I teraz tak - to równanie spełnia wiele liczb, tzn nie jest to jedno rozwiązanie (jest to między innymi \(\displaystyle{ x = y = 0}\), ale równie \(\displaystyle{ x = 1, y = \frac{2}{3}}\).
Wiec dla znalezionych a i b układ jest zależny (więcej niz jedno rozwiązanie - ok ma niezerowe).
W takim razie dla \(\displaystyle{ a \in R \setminus \left\{ -\frac{5}{2} \right\}}\) i \(\displaystyle{ b \in R\setminus \left\{ \frac{3}{2} \right\}}\) układ jest liniowo niezależny

Czy to jest dobrze ?-- 16 lis 2013, o 17:23 --Ok, ja dopiero teraz załapałem o co Tobie chodzi.!!! Chyba teraz na prawdę zrozumiałem ideee
Powiem co rozumiem.

Układ jest jednorodny, więc ma na 100% rozwiązanie (nie jest sprzeczny). Jeśli jest to 1 rozwiązanie to są nim zera (tzn, niewiadome są zerami).

I teraz my chcemy pokazać, że dany układ jest liniowo niezależny. Z definicji bierzemy co trzeba i rozpisujemy układ. I teraz tak jak definicja podpowiada, będziemy mieli liniwoą niezależność, jeżeli rozwiązania będę zerowe (oraz jedyne rozwiązanie). Wystarczy więć (bo jednorodność ukłądu) wymóc na parametrach a i b, żeby sprawiły, żeby układ był oznaczony (było dokłądnie jedno rozwiązanie).
To dokłądnie jedno rozwiązanie musi być zerami (jednorodność). A właśnie wtedy, gdy jest jedno zerowe rozwiązanie mamy lnz. Czyli trzeba teraz znaleźć takie a i b, żeby był uklad oznaczony, to będzie rozwiązaniem zadania.
I teraz jak wpiszemy do macierzy, muszę zaussować, i wyciągnąć wniosek - jakie muszą być te a i b, żeby ta macierz pokazywała na dokładnie jedno rozwiązanie ukladu.


Ok ?

[yorgin]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 & 2+a \\
0 & 5+2a \\
0 & -a+b-4

\end{bmatrix}
\\
\left\{\begin{matrix}
x\ + & \left( a+2 \right) y = 0 \\
& \left( 5+2a \right) = 0\\
& -a + b-4 = 0
\end{matrix}\right \\
a = -\frac{5}{2}\\
b = \frac{3}{2}}\)

Zabrakło komentarza o tym, że przechodzisz z macierzy na układ, ale poza tym ok.

I teraz spróbuję jakoś zinterpretować ten wynik. (przeszedłem z alfa i beta na\(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\))
to otrzymamy:

Nie przeszedłeś, bo podstawiłeś wyliczone wartości i na ich podstawie chcesz wyznaczać \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\).

\(\displaystyle{ x - \frac{3}{2} y = 0}\)
I teraz tak - to równanie spełnia wiele liczb, tzn nie jest to jedno rozwiązanie (jest to między innymi \(\displaystyle{ x = y = 0}\), ale równie \(\displaystyle{ x = 1, y = \frac{2}{3}}\).
Wiec dla znalezionych a i b układ jest zależny (więcej niz jedno rozwiązanie - ok ma niezerowe).

Ujdzie.

W takim razie dla \(\displaystyle{ a \in R \setminus \left\{ -\frac{5}{2} \right\}}\) i \(\displaystyle{ b \in R\setminus \left\{ \frac{3}{2} \right\}}\) układ jest liniowo niezależny

Końcowy wynik jest poprawny.

Wrzucę jeszcze moje rozwiązanie - uciekam z forum na kilka godzin. Kontynuuję ideę z pierwszego posta.

Wektory \(\displaystyle{ (1,-1,2)}\) oraz \(\displaystyle{ (2+a,3+a,a+b)}\) są liniowo zależne, gdy są proporcjonalne, a więc

\(\displaystyle{ k(1,-1,2)=(2+a,3+a,a+b)}\)

Stąd mamy prosty układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} k=2+a \\ -k=3+a \\ 2k=a+b \end{cases}}\)

Łatwo go rozwiązać i wyznaczyć \(\displaystyle{ a=-\frac{5}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ b=\frac{3}{2}}\). Zatem dla tych (i tylko takich) parametrów mamy wektory proporcjonalne. Dla każdych innych już nie.

[matinf]

jak będziesz to przecztaj końcówkę poprzedniego mojego posta - tam coś dopisałem,

[yorgin]

Ok, ja dopiero teraz załapałem o co Tobie chodzi.!!! Chyba teraz na prawdę zrozumiałem ideee
Powiem co rozumiem.

Układ jest jednorodny, więc ma na 100% rozwiązanie (nie jest sprzeczny). Jeśli jest to 1 rozwiązanie to są nim zera (tzn, niewiadome są zerami).

Zgadza się.

I teraz my chcemy pokazać, że dany układ jest liniowo niezależny. Z definicji bierzemy co trzeba i rozpisujemy układ. I teraz tak jak definicja podpowiada, będziemy mieli liniwoą niezależność, jeżeli rozwiązania będę zerowe (oraz jedyne rozwiązanie). Wystarczy więć (bo jednorodność ukłądu) wymóc na parametrach a i b, żeby sprawiły, żeby układ był oznaczony (było dokłądnie jedno rozwiązanie).

Ok.

To dokłądnie jedno rozwiązanie musi być zerami (jednorodność). A właśnie wtedy, gdy jest jedno zerowe rozwiązanie mamy lnz. Czyli trzeba teraz znaleźć takie a i b, żeby był uklad oznaczony, to będzie rozwiązaniem zadania.

Ok.

I teraz jak wpiszemy do macierzy, muszę zaussować, i wyciągnąć wniosek - jakie muszą być te a i b, żeby ta macierz pokazywała na dokładnie jedno rozwiązanie ukladu.

Metoda szukania tych \(\displaystyle{ a, b}\) jest już dowolna.

Ogólnie wygląda na to, że ideę rozumiesz. Trzeba tak dobrać współczynniki, by układ miał dokładnie jedno rozwiązanie.