suma dwóch wektorów

[matematyka464]

Cześć
Jednym z warunków na to, żeby podzbiór \(\displaystyle{ R}\)był podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ V}\)jest fakt, aby suma dwóch wektorów z \(\displaystyle{ R}\)należała do \(\displaystyle{ R}\).
No to ja twierdzę, że taka podprzestrzeń jest niekończona.
Popatrzcie:
\(\displaystyle{ (1,2,3)}\)
\(\displaystyle{ (2,4,5)}\)
Warunek nakazuje, żeby należała suma, a więc należeć musi \(\displaystyle{ ( 3,6,8)}\). No ok, ale skoro należy \(\displaystyle{ (3,6,8)}\) i \(\displaystyle{ (1,2,3)}\) to ich suma też musi należeć. I tak w kółko.
Gdzie robię błąd w zrozumieniu?

[ZF+GCH]

Gdzie robię błąd w zrozumieniu?

Przestrzeń liniowa (wektorowa) \(\displaystyle{ V}\) jest określana nad pewnym ciałem \(\displaystyle{ K}\) skalarów. Aby \(\displaystyle{ W}\) była podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) musi być zamknięta na dodawanie wektorów oraz na mnożenie wektorów przez skalar.
Czyli jeśliby Twoją przestrzenią \(\displaystyle{ V}\) było \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\) nad ciałem skalarów \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) i chciałbyś sprawdzić powiedzmy, czy \(\displaystyle{ \mathbb{R}_{+}^{3}}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\), to poza warunkiem (oczywistym, bo sumując wektory o nieujemnych współrzędnych sumujemy po współrzędnych nieujemne liczby) zamknięcia na dodawanie, powinieneś sprawdzić, czy zachodzi \(\displaystyle{ \forall_{w \in \mathbb{R}_{+}^{3}, \ \alpha \in \mathbb{R}} \ \alpha \cdot w \in \mathbb{R}_{+}^{3}}\). To nie zachodzi, bo np. \(\displaystyle{ (-1)\cdot \left( 1,2,3\right)= \left(-1,-2,-3\right)}\).
Ale oczywiście nic nie stoi na przeszkodzie, aby podprzestrzeń była nieskończona. Weź np. zbiór \(\displaystyle{ W=\left\{ \left( x,2 \cdot x,3 \cdot x\right): x \in \mathbb{R}\right\}}\). Spróbuj pokazać, że jest on podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\) nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Zbiór \(\displaystyle{ W}\) jest nieskończony, bo \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jest nieskończony.

[matematyka464]

ok, już rozumiem
Dzięki !:)