macierze, dowód

[matematyka464]

Cześć,
Chcę sobie przeanalizować pewien dowód, jednak w pewnym momencie jego przebiegu czytam, że:
Dowód jednoznaczności wyznacznika. Ustalmy funkcje \(\displaystyle{ det}\) i \(\displaystyle{ d}\)spełniające żądane warunki i niech
\(\displaystyle{ A \in M_k}\). Doprowadźmy macierz \(\displaystyle{ A}\)
do postaci zredukowanej \(\displaystyle{ N}\) ciągiem wierszowych operacji elementarnych typu (I) i (II). Niech będzie to ciąg \(\displaystyle{ A = A_1 \rightarrow ... \rightarrow A_s=N}\)
I w czym problem? Czym jest postać zredukowana macierzy, co oznacza i czy istnieje dla każdej macierzy?

[ares41]

Czym jest postać zredukowana macierzy

Niech \(\displaystyle{ N(i):=\max\{j:a_{ik}=0 \mbox{ dla } k=1,...,j-1\}}\).
Jeśli \(\displaystyle{ A_i\neq 0 \Rightarrow a_{i,N(i)}}\) jest pierwszym niezerowym wyrazem wiersza \(\displaystyle{ A_i}\).
Macierz \(\displaystyle{ A\in \mathrm{Mat}(m\times n, R)}\) nazywamy zredukowaną, jeśli dla \(\displaystyle{ i=1,...,m-1}\) zachodzi \(\displaystyle{ N(i) \le n \Rightarrow N(i) <N(i+1)}\) oraz \(\displaystyle{ N(i)=n+1 \Rightarrow N(i+1)=n+1}\)

czy istnieje dla każdej macierzy?

Każdą macierz nad pierścieniem całkowitym możemy sprowadzić do postaci zredukowanej przez skończoną liczbę operacji :
(1): dodanie do pewnego wiersza innego wiersza pomnożonego przez element pierścienia
(2): zamiana miejscami dwóch wierszy macierzy
(3): pomnożenie wiersza macierzy przez niezerowy element pierścienia

Dowód przez indukcję po \(\displaystyle{ m}\)