Sprawdz podprzestrzeń przestrzeni

[tomek1058]

Witam, czy mógłby ktoś wytłumaczyć w prostych słowach jak zabrać się za te zadania?

Sprawdzić czy:

a) \(\displaystyle{ V=\left\{\left(x,-x,x\right) : x\in R\right\}}\) jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\);
b) \(\displaystyle{ V=\left\{\left(x,y\right):y=x^2,\quad x,y\in R\right}}\) jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ R^2}\);
c) \(\displaystyle{ V=\left\{\left(x,y,z,t\right): -2x+y=0,\quad y+t=0,\quad x,y,z,t\in R\right\}}\) jest podprzestrzenia przestrzeni \(\displaystyle{ R^4}\);
d) \(\displaystyle{ V=\left\{\left(x,y,z\right): x=0\quad lub \quad z=2x, x,y,z\in R\right\}}\) jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\)

[lukequaint]

Sprawdzić, czy elementy podanych zbiorów spełniają warunki:
(a) \(\displaystyle{ (\forall v, w \in V)(w + v \in V)}\)
(b) \(\displaystyle{ (\forall \alpha \in \RR)(\forall v \in V)(\alpha v \in V)}\)
(c) \(\displaystyle{ (V \neq \emptyset)}\).

[tomek1058]

Czy mogę prosić o dokładniejsze wytłumaczenie jak to sprawdzić? Muszą spełniać wszystkie 3 warunki jednocześnie?

[lukequaint]

Tak, musi spełniać wszystkie warunki. O tak (zbiór z a), warunek a)):

bierzemy dowolne dwa wektory z \(\displaystyle{ V}\) i wykazujemy, że:
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}
x\\
-x\\
x
\end{array}\right)
+
\left(\begin{array}{c}
y\\
-y\\
y
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{c}
x+y\\
-x+(-y)\\
x+y
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{c}
x+y\\
-(x+y)\\
x+y
\end{array}\right) \in V}\).