Dowod wektory macierz

[Happycool]

Niech \(\displaystyle{ V=lin(v_1,...,v_m)}\)beda wektorami \(\displaystyle{ K_n}\), gdzie \(\displaystyle{ K}\) oznacza pewne cialo. Udowodnic poprawnosc nastepujacej metody wybierania sposrod wektorow(\(\displaystyle{ v_1,...,v_m}\)) bazy \(\displaystyle{ V}\): tworzymy macierz \(\displaystyle{ M}\), ktorej kolejne kolumnu\(\displaystyle{ k_1,...,k_m}\) sa wektorami \(\displaystyle{ v_1,...,v_m}\) zapisanymi pionowo. Przy pomocy przeszksztalcen wierszowych trzech rodzajow przeksztalcamy macierz \(\displaystyle{ M}\) do macierzu w postaci schodkowej M', ktorej kolumnami sa \(\displaystyle{ k′_1,...,k′_m}\). Niech liderzy kolejnych niezerowych wierszach macierzy M' stoja w kolumach \(\displaystyle{ k′_{j1},...,k′_{jl}}\). Wtedy wektory \(\displaystyle{ v_{j1},...,v_{jl}}\) mozna przyjac za wektory pewnej bazy \(\displaystyle{ B}\) przestrzeni\(\displaystyle{ V (czyli dimV=l)}\). Ponadto jesli macierz \(\displaystyle{ M'}\)jest w postaci schodkowej zredutowanej to wspolrzednymi wektora vj w bazie \(\displaystyle{ B}\) sa kolejne elementy poczawszy od pierwszego a konczac na elemencie nr\(\displaystyle{ l}\) kolumny\(\displaystyle{ k′_j}\)macierzy \(\displaystyle{ M'}\)