Sprawdź czy układ jest bazą

[princess691]

Nie wiem kompletnie jak do tego podejść, proszę o pomoc.

W przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\) nad \(\displaystyle{ R}\) dana jest baza \(\displaystyle{ A=( \alpha _1, \alpha _2..., \alpha _n)}\). Dla \(\displaystyle{ j=1,2,...,n}\) połóżmy \(\displaystyle{ \beta _j= \alpha _1+ \alpha _2...+ \alpha _j}\) oraz \(\displaystyle{ \gamma_j= \alpha _j+ \alpha _{j+1}}\) (przyjmujemy \(\displaystyle{ \alpha _{n+1}= \alpha _1}\))

a) sprawdź, że układ \(\displaystyle{ B=( \beta _1, \beta _2..., \beta _n)}\) jest bazą \(\displaystyle{ V}\).
b) zbadaj dla jakich \(\displaystyle{ n>1}\) układ \(\displaystyle{ C=(\gamma_1,\gamma_2....,\gamma_n)}\) jest bazą \(\displaystyle{ V}\).-- 14 lis 2013, o 19:08 --ponawiam prośbę

[robertm19]

\(\displaystyle{ \beta_j}\) są niezależne bo z każdym j coraz wiekszym dodajemy nowy wektor, wektory te są z \(\displaystyle{ A}\) więc są niezależne.
Weźmy teraz dowolny \(\displaystyle{ v\in V}\), mamy \(\displaystyle{ v=a_1\alpha_1+...+a_n\alpha_n}\).
Zauważ, że \(\displaystyle{ v=b_1\beta_1+...+\b_n\beta_n}\), gdzie
\(\displaystyle{ b_i}\) są rozwiązaniem układu
\(\displaystyle{ \begin{cases} b_1+b_2+...+b_n=a_1\\ b_2+...+b_n=a_2\\...\\b_n=a_n \end{cases}}\).

[princess691]

no tak racja rozumiem, a co z podpunktem b ? jak to ładnie napisać przede wszystkim?

[yorgin]

\(\displaystyle{ \beta_j}\) są niezależne bo z każdym j coraz wiekszym dodajemy nowy wektor, wektory te są z \(\displaystyle{ A}\) więc są niezależne.
Weźmy teraz dowolny \(\displaystyle{ v\in V}\), mamy \(\displaystyle{ v=a_1\alpha_1+...+a_n\alpha_n}\).
Zauważ, że \(\displaystyle{ v=b_1\beta_1+...+\b_n\beta_n}\), gdzie
\(\displaystyle{ b_i}\) są rozwiązaniem układu
\(\displaystyle{ \begin{cases} b_1+b_2+...+b_n=a_1\\ b_2+...+b_n=a_2\\...\\b_n=a_n \end{cases}}\).

To jest taka jakaś dziwna opowiastka, z której ja jakoś nie umiem wydobyć sedna. W pierwszym zdaniu ponadto powołujesz się na pewne twierdzenie. A ten przykład można zrobić elementarnie.

Niech \(\displaystyle{ \lambda_1\beta_1+\ldots+\lambda_n\beta_n=0}\)

Wtedy \(\displaystyle{ (\lambda_1+\ldots+\lambda_n)\alpha_1+(\lambda_2+\ldots+\lambda_{n})\alpha_2+\ldots+\lambda_n\alpha_n=0}\).

Z niezależności liniowej \(\displaystyle{ \alpha_n}\) mamy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \lambda_1+\ldots+\lambda_n=0 \\ \lambda_2+\ldots+\lambda_{n}=0\\ \vdots \\ \lambda_n=0\end{cases}}\)

Rozwiązaniem powyższego jest \(\displaystyle{ \lambda_1=\ldots=\lambda_n=0}\). Koniec dowodu.

[robertm19]

Wydaje mi się że dla parzystych n nie uda się wygenerować np. wektora \(\displaystyle{ \alpha_1}\). Zatem ni będzie całej V. Ale to do sprawdzenia jeszcze.

[princess691]

pogubiłam się

co z podpunktem b? pomoze ktos?